【摘要】鑒于大家對(duì)十分關(guān)注，小編在此為大家整理了此文“高考數(shù)學(xué)沖刺易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)”，供大家參考!
本文題目：高考數(shù)學(xué)沖刺易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)
三角函數(shù)
一、高考預(yù)測
該專題是高考重點(diǎn)考查的部分，從最近幾年考查的情況看，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡與求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形和平面向量在立體幾何、解析幾何等問題中的應(yīng)用.該部分在試卷中一般
1.考小題，重在基礎(chǔ)運(yùn)用
考查的重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式、圖象及圖象變換、兩域(定義域、值域)、四性(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性)、 反函數(shù)以及簡單的三角變換(求值、化簡及比較大小)。
2.考大題，難度明顯降低
有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過三角公式變形、轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)沒有了，而是考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法。解答題的形式進(jìn)行考查，且難度不大，主要考查以下四類問題：(1)與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題;(2)與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題;(3)應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值及化簡和等式證明的問題;(4)與周期有關(guān)的問題.
高考備考是緊張的、同時(shí)也是收獲的前夜。成功永遠(yuǎn)屬于那些準(zhǔn)備充分的人們.祝愿各位在2012年的高考中取得輝煌成績。
圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為 ，其他依次類推即可。
3.五點(diǎn)法作y=Asin(ωx+ )的簡圖：五點(diǎn)取法是設(shè)x=ωx+ ，由x取0、 、π、 、2π來求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。3.函數(shù) 最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，頻率是 ，相位是 ，初相是 ;其圖象的對(duì)稱軸是直線 ，凡是該圖象與直線 的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。
4.由y=sinx的圖象變換出y=sin(ωx+ )的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。
途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y=sinx的圖象向左( >0)或向右( <0=平移 個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(ω>0)，便得y=sin(ωx+ )的圖象。
途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將y=sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(ω>0)，再沿x軸向左( >0)或向右( <0=平移 個(gè)單位，便得y=sin(ωx+ )的圖象。
要點(diǎn)3：與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題
1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像
2.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 的遞增區(qū)間是 ，
遞減區(qū)間是 ;
的遞增區(qū)間是 ，遞減區(qū)間是 ，
的遞增區(qū)間是 ，
5.求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“ 、 ”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。
要點(diǎn)4：三角變換及求值
1.兩角和與差的三角函數(shù) ;
。
3.三角函數(shù)式的化簡
常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng);②切割化弦，異名化同名，異角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值;②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少;③使項(xiàng)數(shù)盡量少;④盡量使分母不含三角函數(shù);⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。(1)降冪公式 ; ; 。(2)輔助角公式
4.三角函數(shù)的求值類型有三類
(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題;
(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論;
(3)給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。
要點(diǎn)5：正、余弦定理的應(yīng)用
1.直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在△ABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a。
(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2。(勾股定理)(2)銳角之間的關(guān)系：A+B=90°;(3)邊角之間的關(guān)系：(銳角三角函數(shù)定義)
sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= 。
2.斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。(1)三角形內(nèi)角和：A+B+C=π。
(2)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。
。(R為外接圓半徑)
= ;(4)△=2R2sinAsinBsinC。(R為外接圓半徑)(5)△= ;(6)△= ; ;(7)△=r•s。
解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。
(1)角與角關(guān)系：A+B+C = π;(2)邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a-b < c，b-c < a，c-a > b;(3)邊與角關(guān)系：正弦定理 (R為外接圓半徑);余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC，b2 = a2+c2-2accosB，a2 = b2+c2-2bccosA;它們的變形形式有：a = 2R sinA， ， 。
三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。
要點(diǎn)7：向量與三角函數(shù)的綜合
平面向量融數(shù)、形于一體,具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,從而它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)交匯和聯(lián)系其他知識(shí)點(diǎn)的橋梁.平面向量的運(yùn)用可以拓寬解題思路和解題方法.在高考試題中，其一主要考查平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及基本運(yùn)算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和內(nèi)積的運(yùn)算法則，理解其幾何意義，并能正確的進(jìn)行計(jì)算;其二是考查向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算;其三是和其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起，如和曲線、數(shù)列等知識(shí)結(jié)合.向量的平行與垂直，向量的夾角及距離，向量的物理、幾何意義，平面向量基本定理，向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡與解析幾何、三角、不等式、數(shù)列等知識(shí)的結(jié)合，始終是命題的重點(diǎn).
三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛
命題角度1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
[專家把脈] 上面解答求出k的范圍只能保證y= 的圖像與y=k有交點(diǎn)，但不能保證y= 的圖像與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，如k=1，兩圖像有三個(gè)交點(diǎn).因此，正確的解答要作出了y= 的圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解.
[對(duì)癥下藥] 填(1，3)∵ = 作出其圖像如圖
從圖5-1中可看出：當(dāng)1
2.要得到函數(shù)y= cosx的圖像，只需將函數(shù)y= sin(2x+ )的圖像上所有的點(diǎn)的 ( )
[考場錯(cuò)解]∵將函數(shù)y= sin(2x+ )的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，得函數(shù)y= sin(x+ )的圖像，再向右平行移動(dòng)子個(gè)單位長度后得函數(shù)y= sin(x+ )= cosx的圖像.故選B.
將函數(shù)y= sin(2x+ )變形為y= sin2(x+ ).若將其圖像橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后得函數(shù)y= sin(x+ )的圖像.再向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度后得y= cosx的圖像，選D.
[對(duì)癥下藥] 選C 將函數(shù)y= sin(2x+ )圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y= sin(x+ )的圖像;再向左平行移動(dòng)子個(gè)單位長度后便得y= sin(x+ + )= cosx的圖像.故選C.
3.設(shè)函數(shù) =sin(2x+ )(-π< <0)，y= 圖像的一條對(duì)稱軸是直線x= . (1)求 ; (2)求函數(shù)y= 的單調(diào)增區(qū)間; (3)畫出函數(shù)y= 在區(qū)間[0，π]上的圖像.
[考場錯(cuò)解] (1)∵x= 是函數(shù)y= 的圖像的對(duì)稱軸，∴sin(2× + )=±1，∴ + =kπ+ k
[專家把脈]以上解答錯(cuò)在第(2)小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，令 處，因若把 看成一個(gè)整體u，則y=sinu的周期為2π。故應(yīng)令 ， 解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間.
(3)由 知
x 0 π
y -1 0 1 0
故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上圖像是
5. 求函數(shù) 的最小正周期和最小值;并寫出該函數(shù)在 上的單調(diào)遞增區(qū)間。
[考場錯(cuò)解]
故該函數(shù)的最小正周期是 ;
[對(duì)癥下藥]∵函數(shù)y=sin4x+ sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x
= sin2x-cos2x=2sin(2x- ).故該函數(shù)的最小正周期是π.
當(dāng)2x- =2kπ- 時(shí)，即x=kπ- 時(shí)，y有最小值
y=sin( -2x)， y=lgsin(2x+ ))的單調(diào)性，在解決這類問題時(shí)，不能簡單地把，x+ ， -2x，2x+ ,看作一個(gè)整體，還應(yīng)考慮函數(shù)的定義域等問題.y=Asin(ωx+ )與y=sinx圖像間的關(guān)系：由y=sinx圖像可以先平移后伸縮，也可先伸縮后平專家會(huì)診移.要注意順序不同，平移單位也不同.一般地， y=Asib(ωx+ )的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=Asin[ω(x+a)+ ] 的圖象，再把其上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，即得到y(tǒng)=Asin[ωw1+ωa+ ]的圖像.
命題角度2三角函數(shù)的恒等變形
1.設(shè)α為第四象限的角，若 ，則tan2α= .
[考場錯(cuò)解] 填± ∵
∴
[考場錯(cuò)解] (1)由sinx+cosx= ，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=( )2，即2sinxcosx=- .
[專家把脈] 以上解答在利用三角恒等變形化簡時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤.即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時(shí)認(rèn)為2sin2 =1+cosx，用錯(cuò)了公式，因?yàn)?2sin2 =1-cosx.因此原式化簡結(jié)果是錯(cuò)誤的.
[對(duì)癥下藥]解法1(1)由sinx+cosx= ，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= 即2sinxcosx=- .
∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又∵- 0， ∵-
( 2 ) =sinxcosx(2-cosx-sinx)= 將tanα=- 代入上式得sin(2α+ )=
將tanα= 時(shí)代入上式得
即
于是 ， ，
將 代入上式得sin(2α+ )=
[考場錯(cuò)解] ∵ = ∵ 的最大值為1，
∴ .∴a=3
[專家把脈] 上面解答在三角恒等變形中，用錯(cuò)了兩個(gè)公式：①1+cos2x≠2sin2x;②sin( +x)≠sinx因?yàn)?cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.∴1+cos2x=2cos2x.由誘導(dǎo)公式“奇變偶不變”知sin( +x)=cosx.
[對(duì)癥下藥] ∵ = 其中角 滿足 由已知有 =4，解之得，a=
命題角度3 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
1.如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0.
(Ⅰ)將十字形的面積表示為θ的函數(shù); (Ⅱ)θ為何值時(shí)，十字形的面積最大?最大面積是多少?
[考場錯(cuò)解] 設(shè)S為十字形的面積，則S=2xy=2sinθ• cosθ=sin2θ( ≤θ< ).
=1，即2θ- = 時(shí)，S最大.∴當(dāng)θ= 時(shí)，S最大，
S的最大值為 .
解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ，∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ•cosθ=2cos2θ+sin2θ.
[專家把脈]∵ =3( -cosx).當(dāng)0
才大于0.因而原函數(shù) 在(0， )先減后增函數(shù)，因而2x與3sinx的大小不確定.
(3)設(shè) 在(0，+∞)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序a1,a2，…，an，…，證明：
[考場錯(cuò)解] (1)證明：由函數(shù) 的定義，對(duì)任意整數(shù)k，有 - =(x+2k 由于 +(n-1)π
由于tanan+1•tanan>0，由②式知tan(an-1，-an)< 0.由此可知an+1-an必在第二象限∴
[專家把脈]上面解答的錯(cuò)誤出現(xiàn)在第三小題的證明，設(shè)x0是f′(x0)的根，則認(rèn)為x0是 的一個(gè)極值點(diǎn)，沒有判斷 在( +kπ，x0)和(x0+π+kπ)上的符號(hào)是否異號(hào)，這顯然是錯(cuò)誤的.
由sin2x= ∴[f(x0)]2=
(3)證明：設(shè)x0>0是 =0的任意正實(shí)根，即x0-tanx0，則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，使x0∈( +kπ，π+kπ)，即x0在第二或第四象限內(nèi).由①式 =cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號(hào)可列表如下：
X ( )
的符號(hào) K為奇數(shù) - 0 +
K為偶數(shù) + 0 -
所以滿足 =0的正根x0都為f(x)的極值點(diǎn).由題設(shè)條件，a1,a2，…，an…為方程x=-tanx 專家會(huì)診
處理與角度有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí)，可優(yōu)先考慮三角方法，其一般步驟是：具體設(shè)角、構(gòu)造三角函數(shù)模型，通過三角變換來解決.另外，有些代數(shù)問題，可通過三角代換，運(yùn)用三角知識(shí)來求解.有些三角問題，也可轉(zhuǎn)化成代數(shù)函數(shù)，利用代數(shù)知識(shí)來求解如前面第2、3題.
命題角度4 向量及其運(yùn)算
1如圖6-1，在 Rt△ABC中，已知BC=a，若長為 2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問 與 的夾角θ取何值時(shí) . 的值最大?并求出這個(gè)最大值.
[考場錯(cuò)解] 此后有的學(xué)生接著對(duì)上式進(jìn)行變形，更多的不知怎樣繼續(xù).
[專家把脈] 此題是湖北省20典型例題)已知，a= ，b=3，a與b的夾角為45°，當(dāng)向量a+λb與λa+b的夾角為銳角時(shí)，求實(shí)數(shù)A的范圍.
[考場錯(cuò)解] 由已知a•b=ab•cos45°=3，∵a+λb與λa+b的夾角為銳角，∴(a+λb)•(λa+b)>0
即λa2+λb2+(λ2+1)a•b=0，∴2λ+9λ+ 3(λ2+1)>0，解得 所述實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-∞， ,1)∪(1，+∞).
3.已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足 ，則△AOB與△AOC的面積之比為 ( )
A.1 B. D.2
△AOB的面積與△AOC的面積之比為3：2，選B.
(2)不妨設(shè)A(0，0)，B(1， 0)，C(0，1)，O(x,y)，則由專家會(huì)診向量的基本概念是向量的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意對(duì)向量的夾角、模等概念的理解，不要把向量與實(shí)數(shù)胡亂類比;向量的運(yùn)算包括兩種形式：(1)向量式;(2)坐標(biāo)式;在學(xué)習(xí)時(shí)不要過分偏重坐標(biāo)式，有些題目用向量式來進(jìn)行計(jì)算是比較方便的，那么對(duì)向量的加、減法法則、定比分點(diǎn)的向量式等內(nèi)容就應(yīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)，在應(yīng)用時(shí)不要出錯(cuò)，解題時(shí)應(yīng)善于將向量用一組基底來表示，要會(huì)應(yīng)用向量共線的充要條件來解題.
命題角度5 平面向量與三角、數(shù)列
1.設(shè)函數(shù)f(x)=a•b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx, )求x;(2)若函數(shù)y=2sin2x 第(2)問在利用平移公式的時(shí)有錯(cuò)誤.
[對(duì)癥下藥](1)依題設(shè)，f(x)=
[專家把脈]向量是一個(gè)既有方向又有大小的量，而錯(cuò)解中只研究大小而不管方向，把向量與實(shí)數(shù)混為一談，出現(xiàn)了很多知識(shí)性的錯(cuò)誤.
[對(duì)癥下藥] (1)
3.在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)Ao，記A1為Ao關(guān)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn)，A2為A1，關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn)，…，An為An-1關(guān)于點(diǎn)Pn的對(duì)稱點(diǎn).
(1)求向量 的坐標(biāo);
[考場錯(cuò)解] 第(2)問，由(1)知 =(2，4)，依題意，將曲線C按向量(2，4)平移得到y(tǒng)=f(x)的圖像.
∴y=g(x)=f(x-2)+4.
(2)∵ ={2，4｝，∴f(x)的圖像由曲線C向右平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到.
因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像，其中g(shù)(x)是以 3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈(-2，1)時(shí)，g(x)=1g(x+2)-4，于是，當(dāng)x∈(1，4)時(shí)，g(x)=1g(x-1)-4.
1.(典型例題)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為 ，一個(gè)焦點(diǎn)F(-m，0)(m是大于0的常數(shù).)
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、 Q的直線l與y 軸交于點(diǎn)M，若 ，求直線l的斜率.
[對(duì)癥下藥] (1)設(shè)所求橢圓方程為 1 (a>b>O). 由已知得c=m， 故所求的橢圓方程是
(2)設(shè)Q(xQ，yQ)，直線l的方程為y=k(x+m)，則點(diǎn)M(0，km)，∵M(jìn)、Q、F三點(diǎn)共線， [考場錯(cuò)解] 第(2)問：設(shè)P(x，y)，M(xo，yo)，則N(0，yo)
∴x-xo=-λox,y-yo=λo(yo-y)，∴λo=-1.
[專家把脈] 對(duì) 分析不夠，匆忙設(shè)坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)際上M、N、P三點(diǎn)共線，它們的縱坐標(biāo)是相等的，導(dǎo)致后面求出λo=-1是錯(cuò)誤的.
[對(duì)癥下藥] (1)解法1：設(shè)M(x，y)，則C(x，-1+
即(x，y-1)•(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x≠0，∴M的軌跡方程是:x2+y2=1(x≠0)
解法2：設(shè)AC與BD交于E，連結(jié)EM、EO，∵AC+BD，∴∠CED=∠AEB=90°，又M、O分別為CD， AB的中點(diǎn)，∴ ，又E為分別以AB、CD為直徑的圓的切點(diǎn)，∴O、C、M三點(diǎn)共線，∴ OM=OE+AB=1，∴M在以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，軌跡方程為x2+y2=1(x≠0).
(2)設(shè)P(x，y)，則由已知可設(shè)M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP=λoPN得(x-xo，0)=λo(-x，0)，∴xo=(1+λo)x，又 M在x2+y2=1(x≠0)上，∴P的軌跡方程為(1+λo)2x2+ y2=1(x≠0)， [考場錯(cuò)解] 第(1)問：以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AB所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0，1)，B(0，—1)，設(shè)E(0，t)，B'(xo，1)，則由 y=-t，∴M的軌跡方程為x=x0，y=-t
[專家把脈] 對(duì)軌跡方程的理解不深刻，x=xo，y=-t不是軌跡方程，究其原因還是題目的已知條件挖掘不夠，本題中 = 是一個(gè)很重要的已知條件.
F的直線的斜率為k，則方程為y= ，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 得x1=-λx2，聯(lián)立直線方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2≤x≤2知上述方程在[-2，2]內(nèi)有兩個(gè)解，由;次函數(shù)的圖像知 ，由x=-λx2可得 由韋達(dá)定理得8k2= .
[考場錯(cuò)解] (1)設(shè)橢圓方程為 ，F(xiàn)(c，0)聯(lián)立y=x-c與 得(a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0，令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2= 由 (x1+x2，y1+y2)， a=(3，-1)， 與a共線，得x1+x2=3，y1+y2=-1，又 (2)證明：由(1)知a2=3b2，所以橢圓 可化為 x2+32=3b2設(shè) (x，y)，由已知得(x，y)=λ(x1，y1)+μ(x2，y2)， ∴M(x，y)在橢圓上， ∴(λx1+μx2)23(λy1+μy2)2=3b2.
即λ2( ) +2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2.①
由(1)知x2+x2= ∴ ∴x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2= =0.
又 又，代入①得 λ2+μ2=1.故λ2+μ2為定值，定值為1.
1.在△ABC中，sinA+cosA= AB=3，求tanA的值和△ABC的面積.
[專家把脈] 沒有注意到平方是非恒等變形的過程，產(chǎn)生了增根，若A=165°，sinA=此時(shí)sinA+cosA= ，顯然與sinA+cosA= 的已知條件矛盾.新課標(biāo)第 一網(wǎng)
[對(duì)癥下藥] 解法1.∵ sinA= .
2.設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為1、2、3，則正方形的邊長是 .
.
[專家把脈]沒有考慮x的范圍，由于三角形的兩邊之差應(yīng)小于第三邊，兩邊之和應(yīng)大于第三邊，∴1
專家會(huì)診
解三角形的題目，一般是利用正弦定理、余弦定理結(jié)合三角恒等變形來解，要注意角的范圍與三函數(shù)值符號(hào)之間的聯(lián)系與影響，注意利用大邊對(duì)大角來確定解是否合理，要注意利用△ABC中，A+B+C=π，以及由此推得一些基本關(guān)系式sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sin 等，進(jìn)行三角變換的運(yùn)用，判斷三角形的形狀，必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，。要充分利用正弦定理，余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1、在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知B=60°.(Ⅰ)若cos(B+C)=-，求cosC的值;(Ⅱ)若a=5，•=5，求△ABC的面積.
解：(Ⅰ)在△ABC中，由cos(B+C)=-，得sin(B+C)===，
∴cosC=cos[(B+C)-B]=cos(B+C) cosB+sin(B+C) sinB
=-×+×=.…………(6分)
將①代入②，得bsinC=6，故△ABC的面積為S=absinC=×5×6=15.…(12分)
2、在 中,角 所對(duì)的邊分別為 ,且 成等差數(shù)列.
又 ,故 因此 ......12分
3、如圖，在 中， 是斜邊 上一點(diǎn)，且 ，記 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ,求 的大小.
解：(Ⅰ)由題意知： ， .
又 ，可得 . ----2分
. ----6分
(Ⅱ)由正弦定理知： ---8分 由(Ⅰ)知 解：(Ⅰ) .…4分
由 ，得 ( ).
5、設(shè)函數(shù) .求 的最小正周期 ;已知 分別是 的內(nèi)角 所對(duì)的邊， ， 為銳角，且 是函數(shù) 在 上的最大值，求
解：(1) ………2分
4分 …5分∴最小正周期 …6分
(2)由(1)知 當(dāng) 時(shí)， ………7分
(2)若 為第二象限角，且 ，求 的值.
解: (1)∵ ……1分 ，………2分
又∵ 為第二象限角，所以 .…11分
∴原式 ………12分
7、己知函數(shù) (1)求函數(shù) 的最小正周期。(2)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長分別為a、b、c，若， 、b=1、c= ，求a的值.
解:(1)
所以函數(shù) 的最小正周期為 . ……6分
(2)由 ，得 ,即 .
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ， (Ⅰ).求 和 的值; (Ⅱ)已知 ,且 , 求 的值.
…… 11分 . …… 12分
9、已知函數(shù) ，若 的最大值為1(1)求 的值，并求 的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在 中，角 、 、 的對(duì)邊 、 、 ,若 ，且 ，試判斷三角形的形狀.
解：(1) ……………3分
由 得 …………5分
時(shí)， 舍去， …………7分
(2) …………10分
11、如圖，位于 處的信息中心獲悉：在其正東方向相距 海里的 處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 且相距 海里的 處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東 的方向沿直線 前往 處救援.⑴求線段 的長度及 的值;
⑵求 的值.
解：⑴如圖所示，在 中， ,
. ……3分
. ……6分
⑵ ， .……9分
， . ……12分
12、如圖4，某測量人員，為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B;找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C;找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C;并測量得到數(shù)據(jù)： ，
， ， ，
，DC=CE=1(百米).
(1)求DCDE的面積;(2)求A，B之間的距離.
解：(1)連結(jié)DE，在DCDE中， ，(1分) (9分)
在DABC中，由余弦定理 (10分)
可得 (11分)
解：(I) 1分
又 即 3分 又 或
由余弦定理得 6分
(Ⅱ) = = 8分
= 10分 原式= 12分
14、如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2， 是正三角形.(1)將四邊形ABCD的面積 表示為 的函數(shù);
(Ⅱ)求 的最大值及此時(shí)的 值.
解：(Ⅰ)由余弦定理得
…4分 …5分
(Ⅱ)求 的最大值，并求取得最大值時(shí)A,B的大小.
(Ⅰ) ， …………..4分
16、已知函數(shù) .(Ⅰ)若 ，求 的值;
(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是 ，且滿足 ，求 的取值范圍.
解：(Ⅰ)由題意得： …3分
……13分
17、已知向量 .(I )當(dāng)m//n時(shí)，求 的值;(II)已知在銳角ΔABC中，a, b, c分別為角A,B,C的對(duì)邊， ，函數(shù) ，求 的取值范圍.
解：(I)由m//n，可得3sinx=-cosx，于是tanx= .
∴ .…………4分
(II)∵在△ABC中，A+B= -C，于是 ，
由正弦定理知： ，∴ ，可解得 .………6分
即 .…………12分
18、在△ 中，向量 ，向量 ，且滿足
. (9分)
因?yàn)?，所以 ，即 ，即
所以 ，即 的取值范圍是 . (12分)
19、在 中，角A、B、C的對(duì)邊分別為 ，且滿足
(1)求角B的大小;(2)若 ，求 面積的最大值.
解：(1)條件可化為： .根據(jù)正弦定理有
. ∴ ，
有基本不等式可知 .
即 ，故△ABC的面積 .
即當(dāng)a =c= 時(shí)，△ABC的面積的最大值為 .… 14分
解：(Ⅰ) …2分
(Ⅱ)由條件知 所以 ,
所以 因?yàn)?,所以 即
，
于是 ………10分
,得 ……………12分
∴ ，即 ………………14分
【總結(jié)】2013年為小編在此為您收集了此文章“高考數(shù)學(xué)沖刺易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)”，今后還會(huì)發(fā)布更多更好的文章希望對(duì)大家有所幫助，祝您在學(xué)習(xí)愉快!
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