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集合

　　

　　集合具有某種特定性質的事物的總體。這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數(shù)學元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急～。2、數(shù)學名詞。一組具有某種共同性質的數(shù)學元素：有理數(shù)的～。3、口號等等。集合在數(shù)學概念中有好多概念，如集合論：集合是現(xiàn)代數(shù)學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論�？低校–antor，G.F.P.，1845年—1918年，德國數(shù)學家先驅，是集合論的創(chuàng)始者，目前集合論的基本思想已經滲透到現(xiàn)代數(shù)學的所有領域。

　　

　　集合，在數(shù)學上是一個基礎概念。什么叫基礎概念？基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。集合

　　

　　集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起，使之成為一個整體(或稱為單體)，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。

　　

　　元素與集合的關系

　　

　　元素與集合的關系有“屬于”與“不屬于”兩種。

　　

　　集合與集合之間的關系

　　

　　某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。『說明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A？B。若A是B的子集，且A不等于B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A？B。中學教材課本里將？符號下加了一個≠符號（如右圖），不要混淆，考試時還是要以課本為準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集�！�

　　

　　集合的幾種運算法則

　　

　　并集：以屬于A或屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B=x∈A，或x∈B交集：以屬于A且屬于B的元差集表示

　　

　　素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B=x例如，全集U=1，2，3，4，5A=1，3，5B=1，2，5。那么因為A和B中都有1，5，所以A∩B=1，5。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說A∪B=1，2，3，5。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍數(shù)的數(shù)有多少個。結果是3，5，7每項減集合

　　

　　1再相乘。48個。對稱差集：設A，B為集合，A與B的對稱差集A？B定義為：A？B=（A-B）∪(B-A)例如：A=a，b，c，B=b，d，則A？B=a，c，d對稱差運算的另一種定義是：A？B=（A∪B）-(A∩B)無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N*是正整數(shù)的全體，且N_n=1，2，3，……，n，如果存在一個正整數(shù)n，使得集合A與N_n一一對應，那么A叫做有限集合。差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）。記作：A\B=x│x∈A，x不屬于B。注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”.補集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA=x空集也被認為是有限集合。例如，全集U=1，2，3，4，5而A=1，2，5那么全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA=3，4。在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。

　　

　　集合元素的性質

　　

　　1.確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學”“很小的數(shù)”都不能構成集合。這個性質主要用于判斷一個集合是否能形成集合。2.獨立性：集合中的元素的個數(shù)、集合本身的個數(shù)必須為自然數(shù)。3.互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成1，1，2，等同于1，2�；ギ愋允辜现械脑厥菦]有重復，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。4.無序性：a，b，cc，b，a是同一個集合。5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A=x<2，集合A中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。6.完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數(shù)都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。

　　

　　集合有以下性質

　　

　　若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B

　　

　　集合的表示方法

　　

　　集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A，B，C…而對于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相當于集合的名字，沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如：A=…的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號括起來的，括號內部是具有某種共同性質的數(shù)學元素。

　　

　　常用的有列舉法和描述法。1.列舉法?常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來?寫在大括號內?這種表示集合的方法叫做列舉法。1，2，3，……2.描述法?常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字?符號或式子等描述出來?寫在大括號內?這種表示集合的方法叫做描述法。x（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實數(shù)組成的集合表示為：x3.圖示法（Venn圖）?為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內部表示一個集合。集合

　　

　　4.自然語言常用數(shù)集的符號：（1）全體非負整數(shù)的集合通常簡稱非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；不包括0的自然數(shù)集合，記作N*（2）非負整數(shù)集內排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作Z+；負整數(shù)集內也排除0的集，稱負整數(shù)集，記作Z-（3）全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作Z（4）全體有理數(shù)的集合通常簡稱有理數(shù)集，記作Q。Q=p∈Z，q∈N，且p，q互質(正負有理數(shù)集合分別記作Q+Q-)（5）全體實數(shù)的集合通常簡稱實數(shù)集，記作R（正實數(shù)集合記作R+；負實數(shù)記作R-）（6）復數(shù)集合計作C集合的運算：集合交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合結合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合

　　

　　Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合時，會遇到有關集合中的元素個數(shù)問題，我們把有限集合A的元素個數(shù)記為card(A)。例如A=a，b，c，則card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德國數(shù)學家，集合論創(chuàng)始人康托爾談到集合一詞，列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求補律A∪CuA=UA∩CuA=Φ設A為集合，把A的全部子集構成的集合叫做A的冪集德摩根律A-(BUC)=（A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=（A-B)U(A-C)～（BUC)=~B∩~C～（B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示復數(shù)集C實數(shù)集R正實數(shù)集R+負實數(shù)集R-整數(shù)集Z正整數(shù)集Z+負整數(shù)集Z-有理數(shù)集Q正有理數(shù)集Q+負有理數(shù)集Q-不含0的有理數(shù)集Q*
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高一數(shù)學重要知識點總結之集合與函數(shù)概念

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