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第21－24課時(shí)： 立體幾何問(wèn)題的題型與方法
一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：
1．在掌握直線與平面的位置關(guān)系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系)的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行和垂直的的判定依據(jù)(定義、公理和定理)、判定方法及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用；在有關(guān)問(wèn)題的解決過(guò)程中，進(jìn)一步了解和掌握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能，并探索立體幾何中論證問(wèn)題的規(guī)律；在有關(guān)問(wèn)題的分析與解決的過(guò)程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
2．在掌握空間角(兩條異面直線所成的角，平面的斜線與平面所成的角及二面角)概念的基礎(chǔ)上，掌握它們的求法(其基本方法是分別作出這些角，并將它們置于某個(gè)三角形內(nèi)通過(guò)計(jì)算求出它們的大小)；在解決有關(guān)空間角的問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步鞏固關(guān)于直線和平面的平行垂直的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，掌握作平行線(面)和垂直線(面)的技能；通過(guò)有關(guān)空間角的問(wèn)題的解決，進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及運(yùn)算能力．
3．通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生更好地掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念、性質(zhì)，并能夠靈活運(yùn)用到解題過(guò)程中．通過(guò)使學(xué)生掌握基本的立體幾何解題方法和常用解題技巧，發(fā)掘不同問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高解題能力．
4．在學(xué)生解答問(wèn)題的過(guò)程中，注意培養(yǎng)他們的語(yǔ)言表述能力和“說(shuō)話要有根據(jù)”的邏輯思維的習(xí)慣、提高思維品質(zhì)．使學(xué)生掌握化歸思想，特別是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的思想意識(shí)和方法，并提高空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．
5．使學(xué)生更好地理解多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積及其計(jì)算方法，能夠熟練地使用分割與補(bǔ)形求體積，提高空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．
二．考試要求：
（1）掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。
（2）了解空兩條直線的位置關(guān)系，掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離）。
（3）了解空間直線和平面的位置關(guān)系，掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，理解直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念，了解三垂線定理及其逆定理。
（4）了解平面與平面的位置關(guān)系，掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理。掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平面間的距離的概念，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。
（5）會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
（6）了解多面體的概念，了解凸多面體的概念。
（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖。
（8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖。
（9）了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式。
（10）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式。
三．過(guò)程：
（Ⅰ）基礎(chǔ)知識(shí)詳析
高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問(wèn)題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是常考常新的熱門話題.
1．有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問(wèn)題，是在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問(wèn)題(包括論證、計(jì)算角、與距離等)中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問(wèn)題著手，通過(guò)較為基本問(wèn)題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問(wèn)題的規(guī)律——充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力．
2．判定兩個(gè)平面平行的方法：
（1）根據(jù)定義——證明兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)；
（2）判定定理——證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面；
（3）證明兩平面同垂直于一條直線。
3．兩個(gè)平面平行的主要性質(zhì)：
⑴由定義知：“兩平行平面沒(méi)有公共點(diǎn)”。
⑵由定義推得：“兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。
⑶兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那
么它們的交線平行”。
⑷一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。
⑸夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。
⑹經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行。
以上性質(zhì)⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過(guò)程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。
4．空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決．
空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角
θ∈(0， ]，直線與平面所成的角θ∈ ，二面角的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角θ∈(0，π]．
對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過(guò)程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過(guò)空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．
如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角?－l－?的平面角（記作?）通常有以下幾種方法：
(1) 根據(jù)定義；
(2) 過(guò)棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面?，設(shè)?∩?＝OA，?∩?＝OB，則∠AOB＝?(圖1)；
(3) 利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面?內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個(gè)平面?的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則∠ACB＝? 或∠ACB＝?－?(圖2)；
(4) 設(shè)A為平面?外任一點(diǎn)，AB⊥?，垂足為B，AC⊥?，垂足為C，則∠BAC＝?或∠BAC＝?－?(圖3)；
(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面?內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F(xiàn)在平面?內(nèi)的射影圖形的面積為S?，則cos?＝ .

圖 1 圖 2 圖 3
5.空間的距離問(wèn)題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離．
求距離的一般方法和步驟是：一作——作出表示距離的線段；二證——證明它就是所要求的距離；三算——計(jì)算其值．此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離．
6．棱柱的概念和性質(zhì)
⑴理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識(shí)的關(guān)鍵，要明確“棱柱 直棱柱 正棱柱”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。
⑵平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體 直平行六面體 長(zhǎng)方體 正四棱柱 正方體”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。
⑶須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對(duì)棱柱的基本性質(zhì)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。
⑷關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的一些其特有的性質(zhì)，如長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)定理是一個(gè)重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問(wèn)題是一常用的解題方法。
⑸多面體與旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題離不開構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，因此，很多問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，與《直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體》第一部分的問(wèn)題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等．從這個(gè)角度來(lái)看，點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系仍是我們研究的重點(diǎn)．多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積問(wèn)題是《直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體》課程當(dāng)中相對(duì)獨(dú)立的課題．體積和面積、長(zhǎng)度一樣，都是度量問(wèn)題．常用“分割與補(bǔ)形”，算出了這些幾何體的體積．
7．歐拉公式:如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，面數(shù)F，棱數(shù)E，那么V+F-E＝2.
計(jì)算棱數(shù)E常見方法：
(1)E＝V+F-2；
(2)E＝各面多邊形邊數(shù)和的一半；
(3)E＝頂點(diǎn)數(shù)與共頂點(diǎn)棱數(shù)積的一半。
8．經(jīng)緯度及球面距離
⑴根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個(gè)線面角的度數(shù)，設(shè)球O的地軸為NS，圓O是0°緯線，半圓NAS是0°經(jīng)線，若某地P是在東經(jīng)120°，北緯40°，我們可以作出過(guò)P的經(jīng)線NPS交赤道于B，過(guò)P的緯線圈圓O1交NAS于A，那么則應(yīng)有：∠AO1P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（線面角）。
⑵兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長(zhǎng)，因此，求兩點(diǎn)間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過(guò)這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。
例如，可以循著如下的程序求A、P兩點(diǎn)的球面距離。
線段AP的長(zhǎng) ∠AOP的弧度數(shù) 大圓劣弧AP的長(zhǎng)
9．球的表面積及體積公式
S球表=4πR2 V球= πR3
⑴球的體積公式可以這樣來(lái)考慮：我們把球面分成若干個(gè)邊是曲線的小“曲邊三角形”；以球心為頂點(diǎn)，以這些小曲邊三角形的頂點(diǎn)為底面三角形的頂點(diǎn)，得到若干個(gè)小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當(dāng)小三棱錐的個(gè)數(shù)無(wú)限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無(wú)限變小時(shí)，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時(shí)小三棱錐底面面積的和就變成球面面積,小三棱錐高變成球半徑.由于第n個(gè)小三棱錐的體積＝ Snhn（Sn為該小三棱錐的底面積,hn為小三棱錐高），所以V球＝ S球面?R＝ ?4πR2?R＝ πR3.
⑵在應(yīng)用球體積公式時(shí)要注意公式中給出的是球半徑R，而在實(shí)際問(wèn)題中常給出球的外徑（直徑）.
⑶球與其它幾何體的切接問(wèn)題，要仔細(xì)觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問(wèn)題平面化。
10．主要題型：
⑴以棱柱、棱錐為載體，考查線面平行、垂直，夾角與距離等問(wèn)題。
⑵利用歐拉公式求解多面體頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)。
⑶求球的體積、表面積和球面距離。解題方法：求球面距離一般作出相應(yīng)的大圓，轉(zhuǎn)化為平面圖形求解。
11．注意事項(xiàng)
⑴須明確《直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體》中所述的兩個(gè)平面是指兩個(gè)不重合的平面。
⑵與“直線與直線平行”、“直線與平面平行”的概念一樣“平面與平面平行”是
指“二平面沒(méi)有公共點(diǎn)”。由此可知，空間兩個(gè)幾何元素（點(diǎn)、直線、平面稱為空間三個(gè)幾何元素）間“沒(méi)有公共點(diǎn)”時(shí)，它們間的關(guān)系均稱為“互相平行”。要善于運(yùn)用平面與平面平行的定義所給定的兩平面平行的最基本的判定方法和性質(zhì)。
⑶注意兩個(gè)平行平面的畫法——直觀地反映兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)，將表示兩個(gè)平面的平行四邊形畫成對(duì)應(yīng)邊平行。兩個(gè)平面平行的寫法與線、線平行，線、面平行的寫法一議，即將“平面 平行于平面 ”，記為“ ∥ ”。
⑷空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有“兩平面平行”和“兩平面相交”兩種關(guān)系。
⑸在明確“兩個(gè)平行平面的公垂線”、“兩個(gè)平行平面的公垂線段”、“兩個(gè)平行平面的距離”的概念后，應(yīng)該注意到，兩平行平面間的公垂線段有無(wú)數(shù)條，但其長(zhǎng)度都相等——是唯一確定的值，且兩平行平面間的公垂線段，是夾在兩平行平面間的所有線段中最短的線段，此外還須注意到，兩平行平面間的距離可能化為“其中一個(gè)平面內(nèi)的直線到另一個(gè)平面的距離”又可轉(zhuǎn)化為“其中一個(gè)面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。
⑹三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通常“線線角抓平移，線面角找射影，面面角作平面角”而達(dá)到化歸目的，有時(shí)二面角大小出通過(guò)cos = 來(lái)求。
⑺有七種距離，即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積法”來(lái)求。
（Ⅱ）范例分析
例1、⑴已知水平平面 內(nèi)的兩條相交直線a, b所成的角為 ，如果將角 的平分線 繞著其頂點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)作上下轉(zhuǎn)動(dòng)， 轉(zhuǎn)動(dòng)到離開水平位值的 處，且與兩條直線a,b都成角 ，則 與 的大小關(guān)系是 （ ）
A. 或 B. > 或 <
C. > D. <
⑵已知異面直線a,b所成的角為70 ,則過(guò)空間一定點(diǎn)O,與兩條異面直線a,b都成60 角的直線有 ( )條.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
⑶異面直線a,b所成的角為 ,空間中有一定點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O有3條直線與a,b所成角都是60 ,則 的取值可能是 ( ).
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90
⑷一個(gè)凸多面體有8個(gè)頂點(diǎn)，①如果它是棱錐，那么它有 條棱， 個(gè)面；②如果它是棱柱，那么它有 條棱 個(gè)面.
分析與解答:
⑴ 如圖1所示,易知直線 上點(diǎn)Ａ在平面 上的射影是ι上的點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥b,
則AC⊥b. 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg = ,tg = .顯然，AC>BC,
∴tan > tan ,又 、 （0， ，∴ ＞ .故選C.　　　　　　　　　　　　　　　　

⑵如圖2所示，過(guò)空間一點(diǎn)O分別作 ∥a, ∥b,ι
則所求直線即為過(guò)點(diǎn)O且與 都成60 角的直線。
∵ =110 ，∴ ∴將兩對(duì)對(duì)頂角的平分線繞　　　　　　　　　圖１
O點(diǎn)分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，總能得到與 都成
60 角的直線。故 過(guò)點(diǎn) O與a,b都成60 角的直線有4條，
70 .從而選 D. O
⑶過(guò)點(diǎn)O分別作 ∥a, ∥b,則過(guò)點(diǎn)O有三條直線與
a,b所成角都為60 ，等價(jià)于過(guò)點(diǎn)O有三條直線與 圖2
所成角都為60 ，如圖3示，如果 或 　　　　　　　　　　
則 或 ，過(guò) O點(diǎn)只有兩條直線與 O
都成60 角。如果 =90 ，則 ，那么過(guò)點(diǎn) O有四 　　 　　　　　　　　　　　　　
條直線與 所成角都為60 。如果 =60 ，則 ， 圖 3
此時(shí)過(guò)點(diǎn) O有三條直線與 所成角都為60 。其中一條
正是 角的平分線.

⑷①如果它是棱錐，則是七棱錐，有14條棱，8個(gè)面②如果它是棱柱，則是四棱柱，有12條棱，6個(gè)面.
說(shuō)明： 本組新題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位直關(guān)系，考查空間想象和轉(zhuǎn)化能力，以及周密的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題

例2、如圖1，設(shè)ABC-A B C 是直三棱柱，F(xiàn)是A B 的中點(diǎn)，且

(1)求證：AF⊥A C； (2)求二面角C-AF-B的大�。�
分析：先來(lái)看第1問(wèn)，我們“倒過(guò)來(lái)”分析．如果已經(jīng)證得AF⊥A C，則注意到因?yàn)锳B=2AA =2a，ABC-A B C 是直三棱柱，從而若設(shè)E是AB的中點(diǎn)，就有A E⊥AF，即AF⊥平面A CE．那么，如果我們能夠先證明AF⊥平面A CE，則就可以證得AF⊥A C，而這由CE⊥平面AA B B立得．
再來(lái)看第2問(wèn)．為計(jì)算二面角C-AF-B的大小，我們需要找到二面角C-AF-B的平面角．由前面的分析知，CE⊥平面AA B B，而AF⊥A E，所以，若設(shè)G是AF與A E的中點(diǎn)，則∠CGE即為二面角C-AF-B的平面角，再計(jì)算△CGE各邊的長(zhǎng)度即可求出所求二面角的大�。�
解：(1)如圖2，設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接CE，EA ．由ABC-A B C 是直三棱柱，知AA ⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA ，
∵AB=2AA =2a，∴AA =a，AA ⊥AE，知AA FE是正方形，從而AF⊥A E．而A E是A C在平面AA FE上的射影，故AF⊥A C；
(2)設(shè)G是AB 與A1E的中點(diǎn)，連接CG．因?yàn)镃E⊥平面AA B B，AF⊥A E，由三垂線定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AA FE是正方形，AA =a，
∴ ， ∴ ，
∴tan∠CGE= ，∠CGE＝ ，從而二面角C-AF-B的大小為 。
說(shuō)明：假設(shè)欲證之結(jié)論成立，“倒著”分析的方法是非常有效的方法，往往能夠幫助我們迅速地找到解題的思路．《直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體》關(guān)于平行與垂直的問(wèn)題都可以使用這種分析方法．但需要注意的是，證明的過(guò)程必須是“正方向”的，防止在證明過(guò)程中用到欲證之結(jié)論，從而形成“循環(huán)論證”的邏輯錯(cuò)誤．

例3、 一條長(zhǎng)為2的線段夾在互相垂直的兩個(gè)平面?、?之間，AB與?成45o角，與?成 角，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作兩平面交線的垂線AC、BD，求平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小．

以CD為軸，將平 以AB為軸，將平
面BCD旋轉(zhuǎn)至與 面ABD旋轉(zhuǎn)至與
平面ACD共面 平面ABC共面


圖 1 圖 2 圖 3
解法１、過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，過(guò)E作EF⊥AB交BC于F(圖1)，連結(jié)DF，則∠DEF即為二面角D－AB－C的平面角．
為計(jì)算△DEF各邊的長(zhǎng)，我們不妨畫出兩個(gè)有關(guān)的移出圖．在圖2中，可計(jì)算得DE＝1，EF＝ ，BF＝ ＝ ．在移出圖3中，
∵ cosB＝ ＝ ,
在△BDF中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ? BF ? cosB
＝( )2＋( )2 －2? ? ? ＝ ．
（注：其實(shí)，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面DEF，∴ AB⊥DF．
又∵ AC⊥平面?，　∴　AC⊥DF． ∴　DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜邊BC上的高，于是由BC ? DF＝CD ? BD可直接求得DF的長(zhǎng)．）
在△DEF中，由余弦定理：
cos∠DEF＝ ＝ ＝ .
∴ ∠DEF＝arccos .此即平面ABD與平面ABC所成的二面角的大�。�
解法２、過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，過(guò)C作CH⊥AB于H，則HE是二異面直線CH和DE的公垂線段，CD即二異面直線上兩點(diǎn)C、D間的距離．運(yùn)用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE ? CH ? cos? (*)
（注：這里的?是平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小，當(dāng)0＜? o≤90o，? 亦即異面直線CH與DE所成的角；當(dāng)90o＜? ＜180o，異面直線所成的角為180o－? .）
∵ CD＝DE＝1，CH＝ ，HE＝ ，
從而算得 cos?＝ ， ∴ ?＝arccos .
說(shuō)明：(1)解空間圖形的計(jì)算問(wèn)題，首先要解決定位問(wèn)題（其中最基本的是確定點(diǎn)在直線、點(diǎn)在平面上的射影），其次才是定量問(wèn)題．畫空間圖形的“平面移出圖”是解決定位難的有效方法，必須熟練掌握．
(2) 解法２具有普遍意義，特別是公式(*)，�？蛇_(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．

例4、如圖1，直三棱柱ABC－A B C 的各條棱長(zhǎng)都相等，
D為棱BC上的一點(diǎn)，在截面ADC 中，若∠ADC ＝ ，
求二面角D－AC1－C的大�。�
解：由已知，直三棱柱的側(cè)面均為正方形， 圖 7
∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC，
∴ AD⊥CC1.　∴ AD⊥側(cè)面BC1，∴ AD⊥BC， 圖1
∴ D為BC的中點(diǎn)．
過(guò)C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥側(cè)面BC1，
∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中點(diǎn)F，連結(jié)CF，則CF⊥AC1．
連結(jié)EF，則EF⊥AC1(三垂線定理)
∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角．
在Rt△EFC中，sin∠EFC＝ . ∵ BC＝CC1＝a
易求得 CE＝ ，CF＝ .
∴ sin∠EFC＝ ， ∴ ∠EFC＝arcsin .
∴ 二面角D－AC1－C的大小為arcsin .

例5、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).
（1）求證：MN⊥AB；
（2）設(shè)平面PDC與平面ABCD所成的二面角為銳角θ，問(wèn)能否確定θ使直線MN是異
面直線AB與PC的公垂線？若能，求出相應(yīng)θ的值；若不能，說(shuō)明理由.
解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是
以PC為斜邊的直角三角形， ，又M為AB的中點(diǎn)，
∴MN⊥AB.
（2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA為所求二面角的平面角，即∠PDA=θ.
設(shè)AB=a，PA=b，AD=d，則 ，
設(shè)PM=CM則由N為PC的中點(diǎn)，
∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，∴MN為
PC與AB的公垂線，這時(shí)PA=AD，∴θ=45°。

例6、 四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個(gè)四棱錐的體積；
（2）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°
解:（1）正方形ABCD是四棱錐P—ABCD的底面, 其面積
為 從而只要算出四棱錐的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.
而PB是四棱錐P—ABCD的高，PB=AB?tan60°= a,
.
（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.
作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，
是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.
設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，

在
故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.
說(shuō)明：本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設(shè)計(jì)新穎, 特征鮮明的好題.

例7、如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C點(diǎn)到AB1的距離為CE= ，D為AB的中點(diǎn).
（1）求證：AB1⊥平面CED；
（2）求異面直線AB1與CD之間的距離；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
解:（1）∵D是AB中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，
∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，
∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段
∵CE= ，AC=1 , ∴CD= ∴ ；
（3）連結(jié)B1C，易證B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE= ，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴ ， ∴ ,
∴ , ∴ .
說(shuō)明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.

例8、 如圖，在三棱錐 中， 平面 ， ， ，D為BC的中點(diǎn).
（1）判斷AD與SB能否垂直，并說(shuō)明理由；
（2）若三棱錐 的體積為 ，且 為 鈍角，求二面角 的平面角的正切值；
（3）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)A到平面SBC的距離.
解：（1）因?yàn)镾B在底面ABC上的射影AB與AD不垂直，否則與AB=AC且D為BC的中點(diǎn)矛盾，所以AD與SB不垂直；
（2）設(shè) ，則
解得 ，所以 （舍）， .
平面ABC，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)
，
則 是二面角S—BC—A的平面角.
在 中， ,
故二面角的正切值為４；
（3）由（2）知， 平面SDA，所以平面SBC 平面SDA，過(guò)點(diǎn)A作AE SD，則AE 平面SBC，于是點(diǎn)A到平面SBC的距離為AE,
從而 即A到平面SBC的距離為 .

例9、如圖a—l— 是120°的二面角，A，B兩點(diǎn)在棱上，AB=2，D在 內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在 內(nèi)， ABC是等腰直角三角形∠ACB=
（I）求三棱錐D—ABC的體積；
（2）求二面角D—AC—B的大��；
（3）求異面直線AB、CD所成的角.



解: (1) 過(guò)D向平面 做垂線，垂足為O，連強(qiáng)OA并延長(zhǎng)至E.
為二面角a—l— 的平面角. .
是等腰直角三角形，斜邊AB=2. 又D到平面 的距離DO=

（2）過(guò)O在 內(nèi)作OM⊥AC,交AC的反向延長(zhǎng)線于M,連結(jié)DM.則AC⊥DM.∴∠DMO 為二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
（3）在 平在內(nèi)，過(guò)C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角. 為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高,
異面直線AB,CD所成的角為arctan

例10、在平面幾何中有如下特性：從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離之比為定值。類比上述性質(zhì)，請(qǐng)敘述在立體幾何中相應(yīng)地特性，并畫出圖形。不必證明。
類比性質(zhì)敘述如下 ：

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