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　　1．甲、乙兩個圍棋隊各5名隊員按事先排好的順序進(jìn)行擂臺賽，雙方1號隊員選賽，負(fù)者被淘汰，然后負(fù)方的2號隊員再與對方的獲勝隊員再賽，負(fù)者又被淘汰，一直這樣進(jìn)行下去，直到有一方隊員全被淘汰時，另一方獲勝。假設(shè)每個隊員實力相當(dāng)，則甲方有4名隊員被淘汰且最后占勝乙方的概率是____________。

　　2．某種比賽的規(guī)則是5局3勝制，甲、乙兩人在比賽中獲勝的概率分別是。

　　（1）若有3局中乙以2：1領(lǐng)先，求乙獲勝的概率；

　�。�2）若勝一局得2分，負(fù)一局得分，求甲得分ξ的數(shù)學(xué)期望。

　　難點 2以概率與統(tǒng)計為背景的數(shù)列題

　　1．從原點出發(fā)的某質(zhì)點M，按向量a=(0,1)移動的概率為，按向量b=（0，2）移動的概率為，設(shè)M到達(dá)點（0，n）的概率為Pn,求Pn

　　質(zhì)點能達(dá)（0，n）的概率為

　　2．一個口袋中放有若干個球，每一球上標(biāo)有1至n中某一個整數(shù)，設(shè)標(biāo)有數(shù)k的球有k個，現(xiàn)從中任取一球。ξ為取的球上所標(biāo)數(shù)字，求ξ的期望與方差。

　　難點 3 利用期望與方差解決實際問題

　　1．四位母親帶領(lǐng)自己的孩子參加電視臺“我愛媽媽”綜藝節(jié)目，其中有一環(huán)節(jié)，先把四位小孩的眼睛蒙上，然后四位母親分開站，而且站?不許動、不許出聲，最后讓蒙上眼睛的小朋友找自己的媽媽，一位母親的身邊只許站一位小朋友，站對一對后亮起兩盞紅燈，站錯不亮燈，求所亮燈數(shù)的期望值。

　　2．某商場根據(jù)天氣預(yù)報來決定節(jié)目節(jié)日在商場內(nèi)還有在商場外開展促銷活動，統(tǒng)計資料表明，每一年五一節(jié)商場內(nèi)的促銷活動可獲得經(jīng)濟(jì)效益2.5萬元，商場外的促銷活動如果不遇害到有雨天可獲得經(jīng)濟(jì)效益12萬元，如果促銷活動遇到雨天則帶來經(jīng)濟(jì)損失5萬元，4月30日氣象臺報五一節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，問商場應(yīng)該采用哪種促銷方式？

　　【易錯點點睛】

　　易錯點 1 求某事件的概率

　　1．從數(shù)字1，2，3，4，5中，隨機(jī)抽取3個數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為 ?（ ?）

　　個三位數(shù)；（3）三個數(shù)字都相同，有（3，3，3），共1個三位數(shù)。所求概率為。選D。

　　2．甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格。

　�。�1）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；

　�。�2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。

　　3．某人有5把鑰匙，其中有1把可以打開房門，但忘記了開門的是哪一把，于是他逐把不重復(fù)地試開，那么恰好第三次打開房門的概率是____________.

　　（方法三）只考慮第3把鑰匙，概率P=

　　4．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是。假設(shè)兩人射擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響。

　�。�1）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；

　�。�2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；

　　（3）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊。問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？

　　【舉一反三】

　　1擲三枚骰子，求所得點數(shù)中最大點數(shù)是最小點數(shù)兩倍的概率是 ?（ ?）

　　2 、同時拋擲3枚均勻硬幣16次，則這三枚硬幣至少出現(xiàn)一次兩個正面一個反而的概率__________（用式子作答）。

　　3 、設(shè)棋子在正四面體ABCD的表面從一個頂點向另外三個頂點移動是等可能的，現(xiàn)拋擲骰子根據(jù)其點數(shù)決定棋子是否移動，若拋出的點數(shù)是奇數(shù)，則棋子不動；若拋出的點數(shù)是偶數(shù)，棋子移動到另一頂點，若棋子的初始位置為A，則：

　　（1）投擲2次骰子，棋子才到達(dá)頂點BA的概率；

　　（2）投擲次骰子，棋子恰巧在頂點B的概率是多少？

　　【特別提醒】

　　對于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考慮了順序，則分子也應(yīng)考慮順序等；將一個較復(fù)雜的事件進(jìn)行分解時，一定要注意各事件之間是否互斥，還要注意有無考慮全面；有時正面情況較多，應(yīng)考慮利用公式P（A）=1-P（）；對于A、B是否獨立，應(yīng)充分利用相互獨立的定義，只有A、B相互獨立，才能利用公式P（A?B）=P（A）?P（B），還應(yīng)注意獨立與互斥的區(qū)別，不要兩者混淆。

　　易錯點 2離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

　　1．盒子中有大小相同的球10個，其中標(biāo)號為1的球3個，標(biāo)號為2的球4個，標(biāo)號為5的球3個。第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設(shè)取到每個球的可能性都相同）。記第一次與第二次取得球的標(biāo)號之和為ξ。

　　（1）求隨機(jī)變量ξ的分布列；

　�。�2）求隨機(jī)變量ξ的期望。

　　2．某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得-100分，假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響。

　�。�1）求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

　�。�2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即ξ≥0）的概率。

　�。�2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.986.

　　3．某電器商經(jīng)過多年經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)本店每個月售出的電冰箱的臺數(shù)ξ是一個隨機(jī)變量，它的分布列如下：

　　ξ123…12P…設(shè)每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉庫，則每臺每月需花保養(yǎng)費100元，問電器商月初購進(jìn)多少臺電冰箱才能使自己平均收益最大？

　　4．一接等中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率為0.5，電話C、D戰(zhàn)線的概率為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響，假設(shè)該時刻有ξ部電話占線，試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的期望。

　　5．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人瀏覽這三個景點的概率分別為0.4,0.5,0.6,且客人是否瀏覽哪個景點互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時瀏覽的景點數(shù)與沒有瀏覽的景點數(shù)之差的絕對值。

　�。�1）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；

　�。�2）記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1,在區(qū)間[2，+∞]上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率。

　　【舉一反三】

　　1．某商店搞促銷活動規(guī)則如下：木箱內(nèi)放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顧客從中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，則有獎品，獎勵辦法如下表：

　　取出的棋子獎品5枚白棋子價值50元的商品4枚白棋子價值30元的商品3枚白棋子價值10元的商品如果取出的不是上述三種情況，則顧客需用50元購買商品。

　�。�1）求獲得價值50元的商品的概率；

　�。�2）求獲得獎品的概率；

　�。�3）如果顧客所買商品成本價為10元，假設(shè)有10000人次參加這項促銷活動，同商家可以獲得的利潤大約是多少（精確到元）。

　　2．A、B兩地之間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的信息量分別為：1，1，2，2，3， 3，現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線，設(shè)可通過的信息量為x，當(dāng)可通過的信息量x≥6時，則保證信息暢通。

　�。�1）求線路信息暢通的概率；

　�。�2）求任取三條網(wǎng)線所通過信息量的數(shù)學(xué)期望。

　　3．袋中放2個白球和3個黑球，每次從中取一個球，直到取到白球為止，若每次取出的球不再放回去，求取球次數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望。

　　【特別提醒】

　　離散型隨機(jī)變量的分布列，期望與方差是概率統(tǒng)計的重點內(nèi)容，對離散型隨機(jī)變量及分布列，期望與方差的概念的關(guān)鍵。求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟是：（1）根據(jù)問題實際找出隨機(jī)變量ξ的所有可能值xi;（2）求出各個取值的概率P（ξ=xi）=Pi;(3)畫表填入相應(yīng)數(shù)字，其中隨機(jī)變量ξ的取值很容易出現(xiàn)錯誤，解題時應(yīng)認(rèn)真推敲，對于概率通常利用所有概率之和是否等于1來進(jìn)行檢驗。期望與方差的計算公式尤其是方差的計算公式較為復(fù)雜，要在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶。

　　易錯點 3統(tǒng)計

　　1．樣本總體中有100個個體，隨機(jī)編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第一組抽取的號碼為m那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同，若m=6，則在第7組中抽取的號碼是____________.

　　2．某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用圖13-1所示的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為 ? （ ?）A．0．6 ? ? ? ? B．0．9

　　C．1．0 ? ? ? ? ?D．1．5

　　3．若隨機(jī)變量ξ、η都服從正態(tài)分布，并且ξ~N（3，2），η=，則隨機(jī)變量η的期望是_________。

　　4．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（0，1），記φ（x）=P(ξ0)

　　D．P(|ξ|>a)=1-φ(a)(a>0)

　　【舉一反三】

　　1 某廠生產(chǎn)的零件外徑ξ~N（10，0.04），今從該廠上午生產(chǎn)的零件中各取一件，測得外徑分別為9.9cm,9.3cm,則可認(rèn)為 ?（ ?）

　　A．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常

　　B．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常

　　C．上、下午生產(chǎn)情況均正常

　　D．上、下午生產(chǎn)情況均不正常

　　2 設(shè)隨機(jī)變量ξ~N（μ，σ2），且P（ξ≤c）=P(ξ>Ac),則c等于

　　A．0 ? ? ? ?B．6

　　C．-μ ? ? ?D．μ

　　3 從某社區(qū)家庭中按分層抽樣的方法，抽取100戶高、中、低收入家庭調(diào)查社會購買力的某項指標(biāo)，若抽出的家庭中有56戶中等收入戶和19戶低收入戶，已知該社區(qū)高收入家庭有125戶，則該社區(qū)家庭總戶數(shù)為__________.

　　【特別提醒】

　　對抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布及線性回歸近幾年高考要求都不高，有的尚未考查，但作為新的知識點，高考也不會完全放棄，所以平時學(xué)習(xí)應(yīng)以基礎(chǔ)知識為主，重點學(xué)習(xí)抽樣方法，正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識。抽樣方法主要是概念的理解，正態(tài)分布主要是圖像的性質(zhì)。

　　1．若n的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為(　　)

　　A. ?B. ?C．－ ?D.

　　2．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝3，在BC上任取一點D，使△ABD為鈍角三角形的概率為(　　)

　　A. ?B. ?C. ?D.

　　3．如圖4是統(tǒng)計高三年級2 000名同學(xué)某次數(shù)學(xué)考試成績的程序框圖，S代表分?jǐn)?shù)，若輸出的結(jié)果是560，則這次考試數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于90分的同學(xué)的概率是(　　)

　　A．0.28 ?B．0.38 ?C．0.72 ?D．0.62

　　4．簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　)

　　A．5 ?B．5.25 ?C．5.8 ?D．4.6

　　5．某班級有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生，隨機(jī)詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是(　　)

　　A．這種抽樣方法是一種分層抽樣

　　B．這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣

　　C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差

　　D．該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)

　�。�已知x，y滿足(x∈Z，y∈Z)，每一對整數(shù)(x，y)對應(yīng)平面上一個點，則過這些點中的其中3個點可作不同的圓的個數(shù)為(　　)

　　A．45 ?B．36 ?C．30 ?D．27

　�。�某校開展“愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如圖5所示．記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是________．

　　8．從n個正整數(shù)1,2，…，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n＝________.

　　．某工廠經(jīng)過技術(shù)改造后，降低了能源消耗，經(jīng)統(tǒng)計該廠某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位：噸)有如下幾組樣本數(shù)據(jù)：

　　x3456y2.5344.5根據(jù)相關(guān)性檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，通過線性回歸分析，求得回歸直線的斜率為0.7.已知該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為10噸，則該工廠每年大約消耗的汽油為________噸．

　�。畧�(zhí)行如圖7的程序框圖，若輸入的ε的值為0.25，則輸出的n的值為________．

　　11．某人在如圖8所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：

　　圖8

　　X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．

　　(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；

　　(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

　�。�假設(shè)某班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5.記此時教室里敞開的窗戶個數(shù)為X.

　　(1)求X的分布列；

　　(2)若此時教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長就會將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時該教室里敞開的窗戶個數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望．

　　13．某中學(xué)一名數(shù)學(xué)老師對全班50名學(xué)生某次考試成績分男女生進(jìn)行了統(tǒng)計(滿分150分)，其中120分(含120分)以上為優(yōu)秀，繪制了如下的兩個頻率分布直方圖：

　　男生

　　女生

　　圖6

　　(1)根據(jù)以上兩個直方圖完成下面的2×2列聯(lián)表：

　　成績

　　性別　　優(yōu)秀不優(yōu)秀總計男生女生總計(2)根據(jù)(1)中表格的數(shù)據(jù)計算，你有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系？

　　(注：

　　k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.)

　　(3)若從成績在[130,140]的學(xué)生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．

　　14．近年來，我國的高鐵技術(shù)發(fā)展迅速，鐵道部門計劃在A、B兩城之間開通高速列車，假設(shè)在試運行期間，每天8：00－9：00,9：00－10：00兩個時段內(nèi)各發(fā)一趟列車由A城到B城(兩車發(fā)生情況互不影響)，A城發(fā)車時間及其概率如下表所示：

　　發(fā)生時間8：108：308：509：109：309：50概率若甲、乙兩位旅客打算從A城到B城，假設(shè)他們到達(dá)A城火車站侯車的時間分別是周六8：00和周日8： 20.(只考慮候車時間，不考慮其他因素)

　　(1)設(shè)乙侯車所需時間為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

　　(2)求甲、乙二人候車時間相等的概率．

　　15．從正方體的各個表面上的12條面對角線中任取2條，設(shè)ξ為2條面對角線所成的角(用弧度制表示)，如當(dāng)2條面對角線垂直時，ξ＝。

　　(1)求概率P(ξ＝0)；

　　(2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

　�。�空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位：μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴(yán)重．PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關(guān)系如下表所示：

　　PM2.5日均濃度0～3535～7575～115115～150150～250>250空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染從甲城市9月份的30天中隨機(jī)抽取15天的PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示．

　　(1)試估計甲城市在9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)；

　　(2)在甲城市這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

　�。�甲、乙兩支球隊進(jìn)行總決賽，比賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽結(jié)束．因兩隊實力相當(dāng)，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為。據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元．

　　(1)求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率；

　　(2)設(shè)總決賽中獲得門票總收入為X，求X的均值E(X)．

　　18．自駕游從A地到B地有甲、乙兩條線路，甲線路是A－C－D－B，乙線路是A－E－F－G－H－B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵車路段．假設(shè)這三條路段堵車與否相互獨立．這三條路段的堵車概率及平均堵車時間如表1所示．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，堵車概率x在上變化，y在上變化．在不堵車的情況下，走甲線路需汽油費500元，走乙線路需汽油費545元．而每堵車1小時，需多花汽油費20元．路政局為了估計CD段平均堵車時間，調(diào)查了100名走甲路線的司機(jī)，得到表2數(shù)據(jù)．

　　CD段EF段GH段堵車概率xy平均堵車時間(單位：小時)a21

　　堵車時間(單位：小時)頻數(shù)[0,1]8(1,2]6(2,3][38(3,4]24(4,5]24

　　(1)求CD段平均堵車時間a的值；

　　(2)若只考慮所花汽油費期望值的大小，為了節(jié)約，求選擇走甲線路的概率．