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2．2．3獨立重復實驗與二項分布
目標：
知識與技能：理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解答一些簡單的實際問題。
過程與方法：能進行一些與n次獨立重復試驗的模型及二項分布有關的概率的計算。
情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數學與生活的和諧之美 ,體現數學的化功能與人價值。
重點：理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解答一些簡單的實際問題
教學難點：能進行一些與n次獨立重復試驗的模型及二項分布有關的概率的計算
授類型：新授
時安排：1時
教 具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
一、復習引入：
1 事的定義：隨機事：在一定條下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事；
必然事：在一定條下必然發(fā)生的事；
不可能事：在一定條下不可能發(fā)生的事
2．隨機事的概率：一般地，在大量重復進行同一試驗時，事 發(fā)生的頻率 總是接近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事 的概率，記作 ．
3.概率的確定方法：通過進行大量的重復試驗，用這個事發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；
4．概率的性質：必然事的概率為 ，不可能事的概率為 ，隨機事的概率為 ，必然事和不可能事看作隨機事的兩個極端情形
5 基本事：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果（事 ） 稱為一個基本事
6．等可能性事：如果一次試驗中可能出現的結果有 個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每個基本事的概率都是 ，這種事叫等可能性事
7．等可能性事的概率：如果一 次試驗中可能出現的結果有 個，而且所有結果都是等可能的，如果事 包含 個結果，那么事 的概率
8．等可能性事的概率公式及一般求解方法
9.事的和的意義:對于事A和事B是可以進行加法運算的
10 互斥事:不可能同時發(fā)生的兩個事．
一般地：如果事 中的任何兩個都是互斥的，那么就說事 彼此互斥
11．對立事:必然有一個發(fā)生的互斥事．
12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥， 那么
＝
13．相互獨立事：事 （或 ）是否發(fā)生對事 （或 ）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事叫做相互獨立事
若 與 是相互獨立事，則 與 ， 與 ， 與 也相互獨立
14．相互獨立事同時發(fā)生的概率：
一般地，如果事 相互獨立，那么這 個事同時發(fā)生的概率，等于每個事發(fā)生的概率的積，
二、講解新：
1 獨立重復試驗的定義：
指在同樣條下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗
2．獨立重復試驗的概率公式：
一般地，如果在1次試驗中某事發(fā)生的概率是 ，那么在 次獨立重復試驗中這個事恰好發(fā)生 次的概率 ．
它是 展開式的第 項
3.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事可能發(fā)生也 可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事發(fā)生的次數ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事恰好發(fā)生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n， ）．
于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：
ξ01…k…n
P

…
…

由于 恰好是二項展開式

中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布（binomial distribution )，
記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數，并記 ＝b(k；n，p)．

三、講解范例：
例1．某射手每次射擊擊中目標的概率是0 . 8.求這名射手在 10 次射擊中，
(1)恰有 8 次擊中目標的概率；
(2)至少有 8 次擊中目標的概率．（結果保留兩個有效數字．)
解：設X為擊中目標的次數，則X～B (10, 0.8 ) .
(1)在 10 次射擊中，恰有 8 次擊中目標的概率為
P (X = 8 ) ＝ .
(2)在 10 次射擊中，至少有 8 次擊中目標的概率為
P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )

.
例2．（2000年高考題）某廠生產電子元，其產品的次品率為5%．現從一批產品中任意地連續(xù)取出2，寫出其中次品數ξ的概率分布．
解：依題意，隨機變量ξ～B(2，5%)．所以，
P(ξ=0)= (95%) =0.9025，P(ξ=1)= (5%)(95%)=0.095，
P( )= (5%) =0.0025．
因此，次品數ξ的概率分布是
ξ012
P0.90250.0950.0025
例3．重復拋擲一枚篩子5次得到點數為6的次數記為ξ，求P(ξ>3)．
解：依題意，隨機變量ξ～B ．
　　∴P(ξ=4)= = ，P(ξ=5)= = ．
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
例4．某氣象站天氣預報的準確 率為 ，計算（結果保留兩個有效數字）：
（1）5次預報中恰有4次準確的概率；
（2）5次預報中至少有4次準確的概率
解：（1）記“預報1次，結果準確”為事 ．預報5次相當于5次獨立重復試驗，根據 次獨立重復試驗中某事恰好發(fā)生 次的概率計算公式，5次預報中恰有4次準確的概率
答：5次預報中恰有4次準確的概率約為0.41.
（2）5次預報中至少有4次準確的概率，就是5次預報中恰有4次準確的概率與5次預報都準確的概率的和，即


答：5次預報中至少有4次準確的概率約為0.74．
例5．某車間的5臺機床在1小時內需要工人照管的概率都是 ，求1小時內5臺機床中至少2臺需要工人照管的概率是多少 ？（結果保留兩個有效數字）
解：記事 ＝“1小時內，1臺機器需要人照管”，1小時內5臺機器需要照管相當于5次獨立重復試驗
1小時內5臺機床中沒有1臺需要工人照管的概率 ，
1小時內5臺機床中恰有1臺需要工人照管的概率 ，
所以1小時內5臺機床中至少2臺需要工人照管的概率為

答：1小時內5臺機床中至少2臺需要工人照管的概率約為 ．
點評：“至多”，“至少”問題往往考慮逆向思維法
例6．某人對一目標進行射擊，每次命中率 都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少應射擊幾次？
解：設要使至少命中1次的概率不小于0.75，應射擊 次
記事 ＝“射擊一次，擊中目標”，則 ．
∵射擊 次相當于 次獨立重復試驗，
∴事 至少發(fā)生1次的概率為 ．
由題意，令 ，∴ ，∴ ，
∴ 至少取5．
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少應射擊5次
例7．十層電梯從低層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？
解：依題意，從低層到頂層停不少于3次，應包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次
∴從低層到頂層停不少于3次的概率


設從低層到頂層停 次，則其概率為 ，
∴當 或 時， 最大，即 最大，
答：從低層到頂層 停不少于3次的概率為 ，停4次或5次概率最大．
例8．實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)定5局3勝制（即5局內誰先贏3局就算勝出并停止比賽）．
（1）試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率．
（2）按比賽規(guī)則甲獲勝的 概率．
解：甲、乙兩隊實力相等，所以每局比賽甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ．
記事 =“甲打完3局才能取勝”，記事 =“甲打完4局才能取勝”，
記事 =“甲打完5局才能取勝”．
①甲打完3局取勝，相當于進行3次獨立重復試驗，且每局比賽甲均取勝
∴甲打完3局取勝的概率為 ．
②甲打完4局才能取勝，相當于進行4次獨立重復試驗，且甲第4局比賽取勝，前3局為2勝1負
∴甲打完4局才 能取勝的概率為 ．
③甲打完5局才能取勝,相當于進行5次獨立重復試驗，且甲第5局比賽取勝，前4局恰好2勝2負
∴甲打完5局才能取勝的概率為 ．
(2)事 ＝“按比賽規(guī)則甲獲勝”，則 ，
又因為事 、 、 彼此互斥，
故 ．
答：按比賽規(guī)則甲獲勝的概率為 ．
例9．一批玉米種子，其發(fā)芽率是0.8.（1）問每穴至少種幾粒，才能保證每穴至少有一粒發(fā)芽的概率大于 ？（2）若每穴種3粒，求恰好兩粒發(fā)芽的概率．（ ）
解：記事 ＝“種一粒種子，發(fā)芽”，則 ， ，
（1）設每穴至少種 粒，才能保證每穴至少有 一粒發(fā)芽的概率大于 ．
∵每穴種 粒相當于 次獨立重復試驗，記事 ＝“每穴至少有一粒發(fā)芽”，則
．
∴ ．
由題意，令 ，所以 ，兩邊取常用對數得，
．即 ，
∴ ，且 ，所以取 ．
答：每穴至少種3粒，才能保證每穴至少有一粒發(fā)芽的概率大于 ．
（2）∵每穴種3粒相當于3次獨立重復試驗，
∴每穴種3粒，恰好兩粒發(fā)芽的概率為 ，
答：每穴種3粒，恰好兩粒發(fā)芽的概率為0.384

四、堂練習：
1．每次試驗的成功率為 ，重復進行10次試驗，其中前7次都未成功后3次都成功的概率為（ ）

2．10張獎券中含有3張中獎的獎券，每人購買1張，則前3個購買者中，恰有一人中獎的概率為（ ）

3．某人有5把鑰匙，其中有兩把房門鑰匙，但忘記了開房門的 是哪兩把，只好逐把試開，則此人在3次內能開房門的概率是 （ ）


4．甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為 ，比賽時均能正常發(fā)揮技術水平，則在5局3勝制中，甲打完4局才勝的概率為（ ）

5．一射手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，則該射手打3發(fā)得到不少于29環(huán)的概率為 ．（設每次命中的環(huán)數都是自然數）
6．一名籃球運動員投籃命中率為 ，在一次決賽中投10個球，則投中的球數不少于9個的概率為 ．
7．一射手對同一目標獨立地進行4次射擊，已知至少命中一次的概率為 ，則此射手的命中率為 ．
8．某車間有5臺車床，每臺車床的停車或開車是相互獨立的，若每臺車床在任一時刻處于停車狀態(tài)的概率為 ，求：（1）在任一時刻車間有3臺車床處于停車的概率；（2）至少有一臺處于停車的概率
9．種植某種樹苗，成活率為90%，現在種植這種樹苗5棵，試求：
⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；
⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率
10．（1）設在四次獨立重復試驗中，事 至少發(fā)生一次的概率為 ，試求在一次試驗中事 發(fā)生的概率 （2）某人向某個目標射擊，直至擊中目標為止，每次射擊擊中目標的概率為 ，求在第 次才擊中目標的概率
答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.046
7. 8.（1） （2）
9.⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷
10.(1) (2)
五、小結 ：1．獨立重復試驗要從三方面考慮 第一：每次試驗是在同樣條下進行 第二：各次試驗中的事是相互獨立的 第三，每次試驗都只有兩種結果，即事要么發(fā)生，要么不發(fā)生
2．如果1次試驗中某事發(fā)生的概率是 ，那么 次獨立重復試驗中這個事恰好發(fā)生 次的概率為 對于此式可以這么理解：由于1次試驗中事 要么發(fā)生，要么不發(fā)生，所以在 次獨立重復試驗中 恰好發(fā)生 次，則在另外的 次中 沒有發(fā)生，即 發(fā)生，由 ， 所以上面的公式恰為 展開式中的第 項，可見排列組合、二項式定理及概率間存在著密切的聯系
六、后作業(yè)：本58頁 練習1、2、3、4 第60頁 習題 2. 2 B組2、3
七、板書設計（略）
八、后記：
教學反思：
1. 理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解答一些簡單的實際問題。
2. 能進行一些與n次獨立重復試驗的模型及二項分布有關的概率的計算。
3. 承前啟后，感悟數學與生活的和諧之美 ,體現數學的化功能與人價值。

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