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●備課資料
一、進一步理解并應用球的性質
球的性質是圓的性質在空間中的延伸，中，應要求學生在熟練掌握圓的性質的基礎上推導出球的性質，進而使學生在解決與球有關的問題中學會用“變未知為已知”的轉化的數學思想，將空間的球變?yōu)槠矫娴膱A去解決.下面，試舉兩例，供讀者體會.
［例1］已知球的兩個平行截面分別為5π和8π,它們位于球心的同側，且距離等于1，求這個球的半徑.
分析：作出球的軸截面，實現空間圖形平面化，進而利用圓的性質去解決問題.
解：如圖所示，設這兩個截面的半徑分別為r1、r2,球心到截面距離分別為d1、d2,球半徑為R，則πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.

又∵R2=r12+d12=r22+d22,
∴d12-d22=8-5=3,
即（d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,
∴ 解得
∴R= = =3.
評述：以上例題中體現了空間球的“與截面垂直的直徑過截面圓的圓心”到平面圓的“與弦垂直的直徑過弦的中點”及“球半徑2=球心到截面圓的距離2+截面圓的半徑2”到“圓半徑2=圓心到弦的距離2+弦長的一半2”的等價轉化思想.
［例2］球面上有三個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的 ，經過這三個點的小圓的周長為4π,求這個球的半徑.
分析：解決這個問題的關鍵是將已知條件中的“任意兩點的球面距離等于大圓周長的 ”與“經過這三個點的小圓周長為4π”，轉化成平面圖形圖中的問題去解決.
解：如圖所示，設這三個點是A、B、C，球半徑為R，A、B、C所在的小圓半徑為r,則2πr=4π,∴r=2.

又∵A、B、C三點中任意兩點的球面距離是大圓周長的 ，
∴球心角∠AOB=∠AOC=∠COA= .
又OA=OB=OC=R，∴AB=BC=CA=R.
∴△ABC是半徑為2的圓O′的內接三角形.
∴△ABC的高為3.
∴AB=R=2 .
評述：(1)本題通過將“兩點的球面距離等于大圓周長的 ”轉化成“兩點間的線段長等于球的半徑”，將“經過三個點的小圓周長為4π,求球的半徑”轉化成“求周長為4π的圓的內接正三角形的邊長”，從而將球面上兩點間的距離、弧長公式及圓內接正三角形三者作為整體，體現了等價化歸的數學思想，實現了問題的解決.
(2)將舊知識靈活巧妙地應用到新問題中，需有牢固的基礎和一定的變通能力，這是我們在中應引起重視的一個重要方面.
二、“兩點間的球面距離”的學習
1.在“兩點間的球面距離”的教學中，應注意些什么？
答：(1)球面上兩點間的距離，必須是在球的過此兩點的大圓中求此兩點所對應的劣弧的長度，而不能在過此兩點的球的小圓中求.
(2)球面上兩點間的距離指的是球面上兩點之間的最短距離.
2.球面上兩點間的距離的求法.
設球面上兩點間的球心角為α弧度，球半徑為R，則球面上兩點間距離為α?R,所以求球面上兩點間距離的關鍵是確定球心角.
(1)兩點在同一經線圓上，可直接計算兩點間的劣弧長度.
(2)兩點在同一緯線圓上，先求弦長，由余弦定理求球心角，化為弧度，再用l=α?r可求得.
(3)兩點經緯度都不同時，用異面直線上兩點間距離公式求弦長，再由余弦定理求球心角.對于這一種情況，高考不作要求.
［例3］設地球半徑為R，城市A位于東經90°，北緯60°，城市B位于東經150°，北緯60°，求城市A與城市B之間的距離.
分析：因所求A、B兩點在同一緯線圓上，故需先求出弦長，由余弦定理求球心角，再用l=α?r求得A、B兩點間的球面距離.

解：如圖，設北緯60°緯度圓圓心為O′，則∠AO1B=60°,
∵r=R?cos60°= R,
∴AB= R.
在△AOB中，
cosAOB= = = ,
∴∠AOB=arccos .
∴過A、B的大圓的劣弧長為R?arccos .
∴A、B的球面距離為R?arccos .
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一、球體積公式的學習
球體積公式敘述了球的體積與球半徑之間的函數關系，即V（R）= πR3,教學中應要求學生熟練掌握在各種不同條件下求出球的半徑，進而求出球的體積方法.下面，我們通過例題的分析,體會不同條件下對球半徑R不同的求法.
［例1］一個體積為8的正方體的各個頂點都在球面上，則此球的體積是
A. πB.4 π
C. πD.4( +1)π
分析：正方體內接于球，則由球及正方體都是中心對稱圖形知，它們的中心重合，這樣就找到了正方體的對角線與球直徑相等這一重要關系.
解：∵正方體的體積是8,
∴正方體的棱長為2.
又∵球的半徑與內接正方體棱長的關系為2r= a,
∴r= .
∴球的體積V= π( )2=4 π.
答案：B
評述：此題的關鍵是尋找球半徑與其內接正方體棱長之間的關系.
［例2］正三棱錐P?ABC的側棱長為l,兩側棱的夾角為2α，求它的外接球的體積.
分析：利用正三棱錐的性質及平面幾何知識求出球的半徑.
解：如圖所示，作PD⊥底面ABC于D，則D為正△ABC的中心.

∵OD⊥底面ABC，
∴P、O、D三點共線.
∵PA=PB=PC=l,∠APB=2α,
∴AB= =2lsinα.
∴AD= AB= lsinα.
再設∠APD=β，作OE⊥PA于E點，
在Rt△APD中，
∵sinβ= = sinα,
又OP=OA=R，
∴PE= PA= l.
在Rt△POE中，
∵R=PO= = ,
∴V球= π［ ］3.
∴V球= .
評述：此題應準確把握圖形的特點，找出幾何體內各個元素之間的關系，進而求出球的半徑.
［例3］一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐內又有一個內切球.
求：（１）圓錐的側面積；
（２）圓錐內切球的體積.
分析：作出軸截面圖，將問題轉化為已知△ABC的外接圓半徑和高，求它的邊AB、BC的長和內切圓半徑，可通過平面幾何知識解決.
解：（1）如圖所示，作出軸截面，則等腰三角形SAB內接于⊙O，而⊙O1內切于△SAB.

設⊙O的半徑為R，則有
πR3=972π.
∴R3=729,R=9.
∴SE=18.
已知SD=16,
∴ED=2.連結AE，則由SE是直徑，SA⊥AE，SA2=SD?SE=18?16=288，
∴SA=12 .
∵AB⊥SD，
∴AD2=SD?DE=16×2=32.
∴AD=4 .
∴S圓錐側=π?4 ?12 =96π.
(2)設內切球O1的半徑為r,
∵△SAB的周長為2（12 +4 ）=32 ,
∴ r×32 = ×8 ×16.
∴r=4.
∴內切球O1的體積V球= πr3= π.
評述：(1)在處理與球有關的相接切問題時，一般要通過作一適當的截面，將問題由立體轉化為平面問題解決，而這類截面常指的是圓錐的軸截面、球的大圓等.
(2)通過此例的分析，應使學生注意歸納、總結解決數學綜合性較強的問題的規(guī)律和 方法.
二、參考練習題
1.球與正四面體的6條棱都相切，則球與正四面體的體積比是多少？
解：如圖所示，設正四面體棱長為a,球半徑為R，取AB中點E，CD中點F，連結AF、CF，則AF=BF= ,

∴EF⊥AB.同理可得EF⊥CD.
∴EF是AB、CD的公垂線.
∴EF是AB、CD的距離,
EF= = = a.
又∵球與正四面體的6條棱都相切,
∴EF是該球的直徑，即2R= a.
∴R3= a3.
∴V球= πR3= π? a3= πa3.
又V正四面體= a3,
∴V球∶V正四面體=π∶2.
2.棱長為a的正四棱錐的外接球的體積是多少？
解：如圖所示，設正四棱錐P?ABCD，作PO⊥平面ABCD，則O為正方形ABCD的中心，

∴OA=OB=OC=OD= a.
又∵PA=PC=a,AC= a,
∴∠APC=90°.
∵O為AC的中點，
∴OP= a.
∵點O到A、B、C、D的距離相等,
∴球半徑R=OA= a.
∴V球= π?( a)3= πa3.
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一、球表面積公式的學習
球的表面積公式敘述了球的表面積與球半徑之間的函數關系，即S（R）=4πR2,教學中應要求學生熟練掌握在各種不同條件下求出球的半徑，進而求出球的表面積.下面，我們通過例題的分析體會不同條件下對球半徑R的不同求法.
［例1］正方體的全面積是a2,它的頂點都在這個球面上，則這個球的表面積是
A. B.
C.2πa2D.3πa2
分析：正方體內接于球，則由球及正方體都是中心對稱圖形知，它們的中心重合，這樣，就找到正方體的對角線與球直徑相等這一結論了.
解：設球的半徑為R，則正方體的對角線長為2R.
依題意， R2= a2,
即R2= a2.
∴S球=4πR2=4π? a2= .
答案：B
［例2］長方體一個頂點上三條棱的長分別為3、4、5，且它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是
A.20 πB.25 π
C.50πD.200π
分析：由長方體內接于球可以得到長方體的對角線長等于球的直徑.
解：設球的半徑為R，則（2R）2=32+42+52.
∴R2= .
∴S球表面積=4πR2=4π? =50π.
答案：C
［例3］已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是
A. πB. π
C.4πD. π
分析：設球心是O，可借助三棱錐O?ABC進行分析解決，三棱錐O?ABC是正三棱錐，OD是高，OA等于球的半徑R，AB=BC=CA=2，為求球面積S，只需求出R即可.

解：∵D是正△ABC的中心,
∴AD是△ABC的外接圓半徑.
∵AD= = ,
又OD= R= OA，
OA2=OD2+AD2,
∴R2= R2+ .
∴R2= .
∴球面積S=4πR2= π.
答案：D
［例4］長方體的共頂點的三個側面面積分別為 、 、 ，則它的外接球的表面積為________.
分析：根據球內接長方體的體對角線與球直徑相等及矩形面積公式求得球半徑.
解：設長方體的有公共頂點的三條側棱長分別為x、y、z,則由已知有
解得
∴球的半徑R= AB= = .
∴S球=4πR2=9π.
［例5］在球心同側有相距9 cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49π cm2和 400π cm2,求球的表面積.
分析：畫出球的軸截面，利用球的截面性質，求球的半徑.
解：如圖，圓O為球的軸截面，由球的截面性質知，
AO1∥BO2，且若O1、O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，設球半徑為R.

∵π?O2B2=49π,∴O2B=7 cm.
同理π?O1A2=400π.∴O1A=20 cm.
設OO1=x cm,則OO2=（x+9) cm.
在Rt△OO1A 中，R2=x2+202;
在Rt△OO2B中，R2=（x+9)2+72,
∴x2+20=72+(x+9)2,解得x=15.
∴R2=x2+202=252.∴R=25.
∴S球=4πR2=2500π cm2.
∴球的表面積為2500π cm2.
評述：(1)例1、例4解決的關鍵在于分析球半徑與其內接長方體的對角線之間的關系，從而求出球半徑.
(2)如果能注意到例3是一選擇題，則除用以上方法計算求出答案外，還可以用估值方法作出判斷：設球半徑為R，球面積是S，根據棱錐和三角形的性質，有R=OA>AD> AB=1,
∴S=4πR2>4π.∴可排除A、B、C.
顯然，這種方法帶給我們簡潔、明快的感覺，同時也提高了做題的速度.
二、與圓錐的內切球有關的問題的處理方法
在遇到圓錐的內切球問題時，常常引進母線與底面所成的角為參數，使得圓錐的底面半徑和高均可用這個參數表示出來，進而使問題獲解.
［例6］如圖所示，已知P是以AB為直徑的半圓上的一點，過P作半圓的切線，分別交直徑BA的延長線于S點，交過B的半圓的切線于C點，將圖形繞SB旋轉一周，得到一個圓錐和一個球，若球的表面積為4π,求當圓錐的體積最小時，該圓錐的表面積.

分析：求出圓錐體積最小時的圓錐形狀是解決問題的關鍵，而圓錐的體積則與它的底面半徑及高有關，因此需要由已知條件列出圓錐體積與其底面半徑和高的函數關系，使問題得到解決.

解：圖中SDC為圓錐的軸截面，設球半徑為r,∵S球=4π,∴r=1.
連結OC，設∠SCB=2θ，則∠OCD=θ,
∴圓錐底面半徑BC=cotθ,圓錐的高SB=cotθ?tan2θ,
圓錐的體積V= π(cotθ)2?tan2θ?cotθ= ? .
由0<2θ< ,∴0<θ< .
∴tan2θ<1,1-tan2θ>0.
由0當圓錐底面半徑BC=cotθ= ,高SD=cotθ?tan2θ=4時，圓錐體積取得最小值.
此時，圓錐表面積S=π?BC2+π?BC?SC=π?( )2+π? =8π.
評述：(1)以上例題中，通過設圓錐母線與底面所成角為２θ，使圓錐的底面半徑與高均可用θ表示出來，將體積化為θ的函數，再運用平均不等式求最值.
(2)運用平均不等式求最值時，要注意其條件，特別是取等號的條件不可忽視.
(3)對于以上tan2θ(1-tan2θ),也可用二次函數求它的最大值，從而得到體積的最小值.而圓錐的形狀也可由SA的大小決定，設為x，則圓錐的高為x+2,底面半徑也用x表示.
∵BC=PC，SP2=SA?SB,
∴BC= .
∴V= π?( )2?(x+2).
當V取最小值時，x=2.
(4)對本課時教案例2的處理也可用以下方法得到處理：
設圓錐底面半徑為r,母線長為l,內切球半徑為R，設∠OAO1=θ，則由切線的性質可得∠SAO=∠OAO1=θ,∠SAO1=2θ,
∴r=Rcotθ,l= = .
∴πR2cot2θ+π?Rcotπ? =2?4πR2.
∴cot2θ+ =8.∴1+ =8tan2θ,
即 =8? .
∴9cos22θ-6cos2θ+1=0.
∴cos2θ= .
∴ = = =3.
●備課資料
與球有關的綜合問題的解決方法
與球有關的綜合問題，常常體現在球與
其他幾何體相接切問題中，它是知識與能力的結合，要求我們對球的定義及其性質熟練掌握,并要注意挖掘知識的內在聯系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，達到鞏固知識、提升能力的目的.下面通過對例題的分析，體會其中的數學思想與方法.
［例題］圓錐的內切球半徑為r,求圓錐體積的最小值.
分析：通過作圓錐的軸截面及它截內切球所得的截面圓，尋找圓錐與球之間的主要元素關系，使問題獲解.

解：如圖，設圓錐母線與底面所成的角為2α，則圓錐的底面半徑R= ,
高h=R?tan2α= ? = .
圓錐的體積V= πR2h= π ?
= πr3? ≥ πr3 = πr3.
當且僅當tan2α=1-tan2α,
即tanα= ,α=arctan 時，取等號.
又∵0<α< ,∴arctan ∈(0, ).

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.2rcoc.com/gaoer/64236.html

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