2013中考全國100份試卷分類匯編
二次函數(shù)
1、（2013•衢州）某果園有100棵橘子樹，平均每一棵樹結(jié)600個(gè)橘子．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，每多種一顆樹，平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橘子．設(shè)果園增種x棵橘子樹，果園橘子總個(gè)數(shù)為y個(gè)，則果園里增種 10 棵橘子樹，橘子總個(gè)數(shù)最多．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：根據(jù)題意設(shè)多種x棵樹，就可求出每棵樹的產(chǎn)量，然后求出總產(chǎn)量y與x之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出x=? 時(shí)，y最大．
解答：解：假設(shè)果園增種x棵橙子樹，那么果園共有（x+100）棵橙子樹，
∵每多種一棵樹，平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子，
∴這時(shí)平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5x個(gè)橙子，
則平均每棵樹結(jié)（600?5x）個(gè)橙子．
∵果園橙子的總產(chǎn)量為y，
∴則y=（x+100）（600?5x）
=?5x2+100x+60000，
∴當(dāng)x=? =? =10（棵）時(shí)，橘子總個(gè)數(shù)最多．
故答案為：10．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題意，列出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
2、（2013山西，18，3分）如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A，B兩點(diǎn)，橋拱最高點(diǎn)C到AB的距離為9，AB=36，D，E為橋拱底部的兩點(diǎn)，且DE∥AB，點(diǎn)E到直線AB的距離為7，則DE的長為_____.
【答案】48
【解析】以C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如右上圖，依題意，得B（18，－9），
設(shè)拋物線方程為： ，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a＝－ ，所以，拋物線方程為： ，
E點(diǎn)縱坐標(biāo)為y＝－16，代入拋物線方程，－16＝ ，解得：x＝24，所以，DE的長為48。
3、（2013鞍山）某商場購進(jìn)一批單價(jià)為4元的日用品．若按每件5元的價(jià)格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價(jià)格銷售，每月能賣出2萬件，假定每月銷售件數(shù)y（件）與價(jià)格x（元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．
（1）試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求得y與x之間的一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)“利潤=（售價(jià)?成本）×售出件數(shù)”，可得利潤W與銷售價(jià)格x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，然后求出其最大值．
解答：解：（1）由題意，可設(shè)y=kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得： ，
解得： ，
所以y與x之間的關(guān)系式為：y=?10000x+80000；
（2）設(shè)利潤為W，則W=（x?4）（?10000x+80000）
=?10000（x?4）（x?8）
=?10000（x2?12x+32）
=?10000[（x?6）2?4]
=?10000（x?6）2+40000
所以當(dāng)x=6時(shí)，W取得最大值，最大值為40000元．
答：當(dāng)銷售價(jià)格定為6元時(shí)，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000元．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)模型（二次函數(shù)與一次函數(shù)）解決實(shí)際問題的能力．要先根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再代數(shù)求值．解題關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實(shí)際意義求解．注意：數(shù)學(xué)于實(shí)踐用于實(shí)踐，在當(dāng)今社會(huì)市場經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)掌握一些有關(guān)商品價(jià)格和利潤的知識(shí)．
4、（2013•咸寧）為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=?10x+500．
（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？
（2）設(shè)李明獲得的利潤為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？
（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于300元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）把x=20代入y=?10x+500求出銷售的件數(shù)，然后求出政府承擔(dān)的成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)；
（2）由利潤=銷售價(jià)?成本價(jià)，得w=（x?10）（?10x+500），把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤；
（3）令?10x2+600x?5000=3000，求出x的值，結(jié)合圖象求出利潤的范圍，然后設(shè)設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價(jià)的最小值．
解答：解：（1）當(dāng)x=20時(shí)，y=?10x+500=?10×20+500=300，
300×（12?10）=300×2=600，
即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元．
（2）依題意得，w=（x?10）（?10x+500）
=?10x2+600x?5000
=?10（x?30）2+4000
∵a=?10＜0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值4000．
即當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤4000．
（3）由題意得：?10x2+600x?5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=?10＜0，拋物線開口向下，
∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時(shí)，w≥3000．
又∵x≤25，
∴當(dāng)20≤x≤25時(shí)，w≥3000．
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，
∴p=（12?10）×（?10x+500）
=?20x+1000．
∵k=?20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=25時(shí)，p有最小值500．
即銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值的求解，此題難度不大．
5、（2013四川南充，18，8分）某商場購進(jìn)一種每件價(jià)格為100元的新商品,在商場試銷發(fā)現(xiàn):銷售單價(jià)x(元/件)與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系：
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫出每天的利潤W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；若你是商場負(fù)責(zé)人，會(huì)將售價(jià)定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
解析：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b（k≠0）.由所給函數(shù)圖象得
……………1′
……………2′解得 ……………3′
∴函數(shù)關(guān)系式為y＝－x＋180. ……………4′
(2)W＝(x－100) y＝(x－100)( －x＋180) ……………5′
＝－x2＋280x－18000 ……………6′
＝－(x－140) 2＋1600 ……………7′
當(dāng)售價(jià)定為140元, W最大＝1600.
∴售價(jià)定為140元/件時(shí),每天最大利潤W＝1600元 ……………8′
6、（2013•濱州）某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生單人桌的抽屜部分是長方體形．其中，抽屜底面周長為180c，高為20c．請通過計(jì)算說明，當(dāng)?shù)酌娴膶抶為何值時(shí)，抽屜的體積y最大？最大為多少？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．
解答：解：已知抽屜底面寬為x c，則底面長為180÷2?x=（90?x）c．
由題意得：y=x（90?x）×20
=?20（x2?90x）
=?20（x?45）2+40500
當(dāng)x=45時(shí)，y有最大值，最大值為40500．
答：當(dāng)抽屜底面寬為45c時(shí)，抽屜的體積最大，最大體積為40500c3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題．求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當(dāng)二次系數(shù)a的絕對(duì)值是較小的整數(shù)時(shí)，用配方法較好，如y=?x2?2x+5，y=3x2?6x+1等用配方法求解比較簡單．
7、（2013年濰坊市）為了改善市民的生活環(huán)境，我是在某河濱空地處修建一個(gè)如圖所示的休閑文化廣場.在Rt△ 內(nèi)修建矩形水池 ，使頂點(diǎn) 在斜邊 上， 分別在直角邊 上；又分別以 為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設(shè)地磚.其中 ， .設(shè) 米， 米.
（1）求 與 之間的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng) 為何值時(shí)，矩形 的面積最大？最大面積是多少？
（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積，并求當(dāng) 為何值時(shí)，矩形 的面積等于兩彎新月面積的 ？
答案：（1）在Rt△ABC中，由題意得AC= 米，BC=36米，∠ABC=30°,
所以
又AD+DE+BE=AB,
所以 （0＜x＜8）.
(2)矩形DEFG的面積
所以當(dāng)x=9時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大面積為 平方米.
（3）記AC為直徑的半圓\、BC為直徑的半圓、AB為直徑的半圓面積分別為S1、S2、S3，兩彎新月面積為S，則
由AC2+BC2=AB2可知S1+S2=S3，∴S1+S2-S=S3-S△ABC ,故S=S△ABC
所以兩彎新月的面積S= (平方米)
由 ， 即 ,解得 ，符合題意，
所以當(dāng) 米時(shí)，矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的 .
考點(diǎn)：考查了解直角三角形，二次函數(shù)最值求法以及一元二次方程的解法。
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的實(shí)際問題。解題的關(guān)鍵是對(duì)于實(shí)際問題能夠靈活地構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并綜合應(yīng)用其相關(guān)性質(zhì)加以解答．
8、（13年山東青島、22）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件
（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤 （元）與銷售單價(jià) （元）之間的函數(shù)關(guān)系式；[:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大；
（3）商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案
方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過30元；
方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由
解析：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000
（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
所以，當(dāng)x＝35時(shí)，w有最大 值2250，
即銷售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大
（3）方案A：由題可得＜x≤30，
因?yàn)閍＝－10＜0，對(duì)稱軸為x＝35，
拋物線開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，
所以，當(dāng)x＝30時(shí)，w取最大值為2000元，
方案B：由題意得 ，解得： ，
在對(duì)稱軸右側(cè)，w隨x的增大而減小，
所以，當(dāng)x＝45時(shí)，w取最大值為1250元，
因?yàn)?000元＞1250元，
所以選擇方案A。
9、（13年安徽省12分、22）（12分）22、某大學(xué)生利用暑假40天社會(huì)實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示。
銷售量p（件）P=50―x
銷售單價(jià)q（元/件）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，q=30+ x；
當(dāng)21≤x≤40時(shí)，q=20+
（1）請計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35元/件？
（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。
（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
10、（2013•黃岡）某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完．該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國內(nèi)市場銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y1（元）與國內(nèi)銷售量x（千件）的關(guān)系為：
y1=
若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y2（元）與國外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系為
y2=
（1）用x的代數(shù)式表示t為：t= 6?x ；當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y2與x的函數(shù)關(guān)系為：y2= 5x+80��；當(dāng) 4 ＜x＜ 6 時(shí)，y2=100；
（2）求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤w（千元）與國內(nèi)銷售數(shù)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（3）該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為多少時(shí)，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．3481324
分析：（1）由該公司的年產(chǎn)量為6千件，每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完，可得國內(nèi)銷售量+國外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6?x；
根據(jù)平均每件產(chǎn)品的利潤y2（元）與國外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系 及t=6?x即可求出y2與x的函數(shù)關(guān)系：當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y2=5x+80；當(dāng)4≤x＜6時(shí)，y2=100；
（2）根據(jù)總利潤=國內(nèi)銷售的利潤+國外銷售的利潤，結(jié)合函數(shù)解析式，分三種情況討論：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；
（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出三種情況下的最大值，再比較即可．
解答：解：（1）由題意，得x+t=6，
∴t=6?x；
∵ ，
∴當(dāng)0＜x≤4時(shí)，2≤6?x＜6，即2≤t＜6，
此時(shí)y2與x的函數(shù)關(guān)系為：y2=?5（6?x）+110=5x+80；
當(dāng)4≤x＜6時(shí)，0≤6?x＜2，即0≤t＜2，
此時(shí)y2=100．
故答案為6?x；5x+80；4，6；
（2）分三種情況：
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，w=（15x+90）x+（5x+80）（6?x）=10x2+40x+480；
②當(dāng)2＜x≤4時(shí)，w=（?5x+130）x+（5x+80）（6?x）=?10x2+80x+480；
③當(dāng)4＜x＜6時(shí)，w=（?5x+130）x+100（6?x）=?5x2+30x+600；
綜上可知，w= ；
（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此時(shí)x=2時(shí)，w最大=600；
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，w=?10x2+80x+480=?10（x?4）2+640，此時(shí)x=4時(shí)，w最大=640；
當(dāng)4＜x＜6時(shí)，w=?5x2+30x+600=?5（x?3）2+645，4＜x＜6時(shí)，w＜640；
∴x=4時(shí)，w最大=640．
故該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，有一定難度．涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)等知識(shí)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
11、（2013•鄂州）某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具．
（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x＞40），請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤w元，并把結(jié)果填寫在表格中：
銷售單價(jià)（元）x
銷售量y（件） 1000?10x
銷售玩具獲得利潤w（元） ?10x2+1300x?30000
（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元．
（3）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用 ．3718684
分析：（1）由銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具得y=600?（x?40）x=1000?x，利潤=（1000?x）（x?30）=?10x2+1300x?30000；
（2）令?10x2+1300x?30000=10000，求出x的值即可；
（3）首先求出x的取值范圍，然后把w=?10x2+1300x?30000轉(zhuǎn)化成y=?10（x?65）2+12250，結(jié)合x的取值范圍，求出最大利潤．
解答：解：（1）
銷售單價(jià)（元）x
銷售量y（件）1000?10x
銷售玩具獲得利潤w（元）?10x2+1300x?30000
（2）?10x2+1300x?30000=10000
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具銷售單價(jià)為50元或80元時(shí)，可獲得10000元銷售利潤，
（3）根據(jù)題意得
解之得：44≤x≤46
w=?10x2+1300x?30000=?10（x?65）2+12250
∵a=?10＜0，對(duì)稱軸x=65
∴當(dāng)44≤x≤46時(shí)，y隨x增大而增大．
∴當(dāng)x=46時(shí)，W最大值=8640（元）
答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為8640元．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值的求解，此題難度不大．
12、（2013哈爾濱）某水渠的橫截面呈拋物線形，水面的寬為AB(單位：米)�，F(xiàn)以AB所在直線為x軸．以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O．已知AB=8米。設(shè)拋物線解析式為y=ax2-4．
(1)求a的值；
(2)點(diǎn)C(一1，)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)0的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD、BC、BD，求ABCD的面積．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。
分析：（1）首先得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出a繼而得二次函數(shù)解析式（2）首先得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由對(duì)稱性得D點(diǎn)的坐標(biāo)，由S△BCD= S△BOD+ S△BOC求出
解答：(1)解∵AB=8 由拋物線的對(duì)稱性可知0B=4
∴B(4，0) 0=16a-4∴a=
(2)解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于F
∵a= ∴
令x=一1．∴= ×(一1)2―4= ∴C(-1， )
∵點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為D ∴D(1， )．∴CE=DF=
S△BCD= S△BOD+ S△BOC = = OB•DF+ OB•CE= ×4× + ×4× =15
∴△BCD的面積為l5平方米
13、（2013年河北）某公司在固定線路上運(yùn)輸，擬用運(yùn)營指數(shù)Q量化考核司機(jī)的工作業(yè)績．Q = W + 100，而W的大小與運(yùn)輸次數(shù)n及平均速度x（k/h）有關(guān)（不考慮其他因素），W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比．試行中得到了表中的數(shù)據(jù)．
（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）當(dāng)x = 70，Q = 450時(shí)，求n的值；
次數(shù)n21
速度x4060
指數(shù)Q420100
（3）若n = 3，要使Q最大，確定x的值；
（4）設(shè)n = 2，x = 40，能否在n增加%（＞0）
同時(shí)x減少%的情況下，而Q的值仍為420，若能，求出的值；若不能，請說明理由．
參考公式：拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（－b2a，4ac－b24a）
解析：
（1）設(shè) ，∴
由表中數(shù)據(jù)，得 ，解得
∴ 4分
（2）由題意，得
∴n=2 6分
（3）當(dāng)n=3時(shí)，
由 可知，要使Q最大， =909分
（4）由題意，得
10分
即 ，解得 ，或 =0（舍去）
∴=5012分
14、（2013•孝感）在“母親節(jié)”前夕，我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛貧困母親”的活動(dòng)，他們購進(jìn)一批單價(jià)為20元的“孝文化衫”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親．經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若每件按24元的價(jià)格銷售時(shí)，每天能賣出36件；若每件按29元的價(jià)格銷售時(shí)，每天能賣出21件．假定每天銷售件數(shù)y（件）與銷售價(jià)格x（元/件）滿足一個(gè)以x為自變量的一次函數(shù)．
（1）求y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；
（2）在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，才能使每天獲得的利潤P最大？
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）設(shè)y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．，由題意可列出k和b的二元一次方程組，解出k和b的值即可；
（2）根據(jù)題意：每天獲得的利潤為：P=（?3x+108）（x?20），轉(zhuǎn)換為P=?3（x?28）2+192，于是求出每天獲得的利潤P最大時(shí)的銷售價(jià)格．
解答：解：（1）設(shè)y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．
由題意可得：
解得
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=?3x+108．
（2）每天獲得的利潤為：P=（?3x+108）（x?20）=?3x2+168x?2160=?3（x?28）2+192．
故當(dāng)銷售價(jià)定為28元時(shí)，每天獲得的利潤最大．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值得求法，此題難度不大．
15、（2013•鐵嶺壓軸題）某商家獨(dú)家銷售具有地方特色的某種商品，每件進(jìn)價(jià)為40元．經(jīng)過市場調(diào)查，一周的銷售量y件與銷售單價(jià)x（x≥50）元/件的關(guān)系如下表：
銷售單價(jià)x（元/件）…55 60 70 75 …
一周的銷售量y（件）…450 400 300 250 …
（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式： y=?10x+1000
（2）設(shè)一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，一周的銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而增大？
（3）雅安地震牽動(dòng)億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災(zāi)區(qū)，在商家購進(jìn)該商品的貸款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數(shù)額是多少元？
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．3718684
分析：（1）設(shè)y=kx+b，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)利潤=（售價(jià)?進(jìn)價(jià)）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，繼而確定銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而增大的銷售單價(jià)的范圍；
（3）根據(jù)購進(jìn)該商品的貸款不超過10000元，求出進(jìn)貨量，然后求最大銷售額即可．
解答：解：（1）設(shè)y=kx+b，
由題意得， ，
解得： ，
則函數(shù)關(guān)系式為：y=?10x+1000；
（2）由題意得，S=（x?40）y=（x?40）（?10x+1000）
=?10x2+1400x?40000=?10（x?70）2+9000，
∵?10＜0，
∴函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=70，
∴當(dāng)40≤x≤70時(shí)，銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而增大；
（3）當(dāng)購進(jìn)該商品的貸款為10000元時(shí)，
y= =250（件），
此時(shí)x=75，
由（2）得當(dāng)x≥70時(shí)，S隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=70時(shí)，銷售利潤最大，
此時(shí)S=9000，
即該商家最大捐款數(shù)額是9000元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實(shí)際問題．
16、(2013年武漢)科幻小說《實(shí)驗(yàn)室的故事》中，有這樣一個(gè)情節(jié)，科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：
溫度 /℃……－4－20244.5……
植物每天高度增長量 /……414949412519.75……
由這些數(shù)據(jù)，科學(xué)家推測出植物每天高度增長量 是溫度 的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種．
（1）請你選擇一種適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關(guān)系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數(shù)的理由；
（2）溫度為多少時(shí)，這種植物每天高度的增長量最大？
（3）如果實(shí)驗(yàn)室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250，那么實(shí)驗(yàn)室的溫度 應(yīng)該在哪個(gè)范圍內(nèi)選擇？請直接寫出結(jié)果．
解析：
（1）選擇二次函數(shù)，設(shè) ，得 ，解得
∴ 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式是 ．
不選另外兩個(gè)函數(shù)的理由：
注意到點(diǎn)（0，49）不可能在任何反比例函數(shù)圖象上，所以 不是 的反比例函數(shù)；點(diǎn)（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直線上，所以 不是 的一次函數(shù)．
（2）由（1），得 ，∴ ，
∵ ，∴當(dāng) 時(shí)， 有最大值為50．
即當(dāng)溫度為－1℃時(shí)，這種植物每天高度增長量最大．
（3） ．
17、（2013達(dá)州）今年，6月12日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕，三位同學(xué)到某超市調(diào)研一種進(jìn)價(jià)為2元的粽子的銷售情況。請根據(jù)小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題。
（1）小華的問題解答：
解析：（1）解：設(shè)實(shí)現(xiàn)每天800元利潤的定價(jià)為x元/個(gè)，根據(jù)題意，得
（x-2)（500- ×10）=800 .………………………(2分）
整理得：x2-10x+24=0.
解之得：x1=4,x2=6.………………………(3分）
∵物價(jià)局規(guī)定，售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的240%，即2×240%=4.8（元）.
∴x2=6不合題意,舍去,得x=4.
答：應(yīng)定價(jià)4元/個(gè)，才可獲得800元的利潤.………………………(4分）
（2）解：設(shè)每天利潤為W元，定價(jià)為x元/個(gè)，得
W=（x-2)(500- ×10)
=-100x2+1000x-1600
=-100(x-5)2+900.………………………(6分）
∵x≤5時(shí)W隨x的增大而增大,且x≤4.8，
∴當(dāng)x=4.8 時(shí)，W最大，
W最大=-100×（4.8-5)2+900=896＞800 .………………………(7分）
故800元不是最大利潤.當(dāng)定價(jià)為4.8元/個(gè)時(shí)，每天利潤最大.………………………(8分）
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