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2014-2015學年江蘇省蘇州市昆山市八年級（下）期末數(shù)學試卷
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）把下列各題中正確答案前面的字母填涂在答題紙相應的位置上．
1．若分式 的值為零，則x的值是（　�。�
　 A． 0 B． 1 C． ?1 D． ?2
　
2．在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比，已知這本書的長為20cm，則它的寬約為（　�。�
　 A． 12.36 cm B． 13.6 cm C． 32.36 cm D． 7.64 cm
　
3．下列命題：
①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
②兩點之間，線段最短；
③相等的角是對頂角；
④直角三角形的兩個銳角互余；
⑤同角或等角的補角相等．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�
　 A． 2個 B． 3個 C． 4個 D． 5個
　
4．使代數(shù)式 有意義的x的取值范圍（　　）
　 A． x＞2 B． x≥2 C． x＞3 D． x≥2且x≠3
　
5．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（　�。�
　 A．   B．   C．   D． 
　
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足為D，AD=8，DB=2，則CD的長為（　�。�
 
　 A． 4 B． 16 C． 2  D． 4
　
7．如圖，△ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是△ABC的面積的（　　）
 
　 A．   B．   C．   D． 
　
8．如果小磊將鏢隨意投中如圖所示的正方形木板（假設(shè)投中每個小正方形是等可能的），那么鏢落在陰影部分的概率為（　�。�
 
　 A．   B．   C．   D． 
　
9．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．動點P、Q分別在直線BC上運動，且始終保持∠PAQ=100°．設(shè)BP=x，CQ=y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（　　）
 
　 A．   B．   C．   D． 
　
10．如圖，點A在雙曲線y= 上，點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為（　　）
 
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
　
　
二、填空題（每題3分，共24分，把答案直接填在答題紙相應的位置上）
11．命題“如果a=b，那么a2=b2”的逆命題是　　　　　�。�
　
12．當a=　　　　　　時，最簡二次根式 與 是同類二次根式．
　
13．某一時刻，身高1.6m的小明在陽光下的影長是0.4m，同一時刻同一地點測得旗桿的影長是5m，則該旗桿的高度是　　　　　　m．
　
14．一次函數(shù)y=ax+b圖象過一、三、四象限，則反比例函數(shù) （x＞0），在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而　　　　　�。�
　
15．如圖，線段AC、BD交于點O，請你添加一個條件：　　　　　　，使△AOB∽△COD．
 
　
16．經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左或向右轉(zhuǎn)，若這三種的可能性相同，則兩輛汽車經(jīng)過十字路口全部繼續(xù)直行的概率為　　　　　�。�
　
17．如圖，一束光線從y軸上的點A（0，1）出發(fā)，經(jīng)過x軸上的點C反射后經(jīng)過點B（6，2），則光線從A點到B點經(jīng)過的路線長度為　　　　　�。�
 
　
18．如圖，直線y=?2x+2與x軸y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形，曲線y= 在第一象限經(jīng)過點D．則k=　　　　　�。�
 
　
　
三、解答題（本大題共11小題，共76分，把解答過程寫在答題紙相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程，推演步驟或文字說明）．
19．化簡或求值
（1）（1+ ）÷
（2）1? ÷ ，其中a=? ，b=1．
　
20．計算
（1）
（2） ．
　
21．解方程： + =2．
　
22．在一個布口袋里裝著白、紅、黑三種顏色的小球，它們除顏色之外沒有任何其它區(qū)別，其中有白球3只、紅球2只、黑球1只．袋中的球已經(jīng)攪勻．
（1）閉上眼睛隨機地從袋中取出1只球，求取出的球是黑球的概率；
（2）若取出的第1只球是紅球，將它放在桌上，閉上眼睛從袋中余下的球中再隨機地取出1只球，這時取出的球還是紅球的概率是多少？
（3）若取出一只球，將它放回袋中，閉上眼睛從袋中再隨機地取出1只球，兩次取出的球都是白球概率是多少？（用列表法或樹狀圖法計算）
　
23．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△OBC的頂點分別為O（0，0），B（3，?1）、C（2，1）．
（1）以點O（0，0）為位似中心，按比例尺2：1在位似中心的異側(cè)將△OBC放大為△OB′C′，放大后點B、C兩點的對應點分別為B′、C′，畫出△OB′C′，并寫出點B′、C′的坐標：B′（　　　　　　，　　　　　�。�，C′（　　　　　　，　　　　　�。�；
（2）在（1）中，若點M（x，y）為線段BC上任一點，寫出變化后點M的對應點M′的坐標（　　　　　　，　　　　　　）．
 
　
24．如圖，在△ABC中，AD是角平分錢，點E在AC上，且∠EAD=∠ADE．
（1）求證：△DCE∽△BCA；
（2）若AB=3，AC=4．求DE的長．
 
　
25．某商店第一次用6000元購進了練習本若干本，第二次又用6000元購進該款練習本，但這次每本進貨的價格是第一次進貨價格的1.2倍，購進數(shù)量比第一次少了1000本．
（1）問：第一次每本的進貨價是多少元？
（2）若要求這兩次購進的練習本按同一價格全部銷售完畢后獲利不低于4500元，問每本售價至少是多少元？
　
26．如圖，一次函數(shù)y1=mx+n的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)y2= （x＜0）交于點C，過點C分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點E、F．若OB=2，CF=6， ．
（1）求點A的坐標；
（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．
 
　
27．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
（1）求證：BE=DF
（2）連接AC交EF于點D，延長OC至點M，使OM=OA，連結(jié)EM、FM，試證明四邊形AEMF是菱形．
 
　
28．直線y=x+b與雙曲線y= 交于點A（?1，?5）．并分別與x軸、y軸交于點C、B．
（1）直接寫出b=　　　　　　，m=　　　　　��；
（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b＜ 的解集為　　　　　��；
（3）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構(gòu)成的三角形與△OAB相似？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．
 
　
29．如圖①，在矩形ABCD中，AB= ，BC=3，在BC邊上取兩點E、F（點E在點F的左邊），以EF為邊所作等邊△PEF，頂點P恰好在AD上，直線PE、PF分別交直線AC于點G、H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）若△PEF的邊EF在線段CB上移動，試猜想：PH與BE有何數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論；
（3）若△PEF的邊EF在射線CB上移動（分別如圖②和圖③所示，CF＞1，P不與A重合），（2）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，直接寫出你發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論．
 
　
　
 

2014-2015學年江蘇省蘇州市昆山市八年級（下）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）把下列各題中正確答案前面的字母填涂在答題紙相應的位置上．
1．若分式 的值為零，則x的值是（　　）
　 A． 0 B． 1 C． ?1 D． ?2

考點： 分式的值為零的條件．
專題： 計算題．
分析： 分式的值是0的條件是：分子為0，分母不為0，則可得x?1=0且x+2≠0，從而解決問題．
解答： 解：∵x?1=0且x+2≠0，
∴x=1．
故選：B．
點評： 此題考查的是分式的值為零的條件，分式是0的條件中特別需要注意的是分母不能是0，這是經(jīng)�？疾榈闹�識點．
　
2．在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比，已知這本書的長為20cm，則它的寬約為（　�。�
　 A． 12.36 cm B． 13.6 cm C． 32.36 cm D． 7.64 cm

考點： 黃金分割．
分析： 根據(jù)黃金分割的比值約為0.618列式進行計算即可得解．
解答： 解：∵書的寬與長之比為黃金比，書的長為20cm，
∴書的寬約為20×0.618=12.36cm．
故選：A．
點評： 本題考查了黃金分割的應用．關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比．
　
3．下列命題：
①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
②兩點之間，線段最短；
③相等的角是對頂角；
④直角三角形的兩個銳角互余；
⑤同角或等角的補角相等．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�
　 A． 2個 B． 3個 C． 4個 D． 5個

考點： 命題與定理．
分析： 利用平行線的性質(zhì)、互余的定義、互補的定義分別判斷后即可確定正確的選項．
解答： 解：①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，錯誤，為假命題；
②兩點之間，線段最短，正確，為真命題；
③相等的角是對頂角，錯誤，為假命題；
④直角三角形的兩個銳角互余，正確，為真命題；
⑤同角或等角的補角相等，正確，為真命題，
故選B．
點評： 本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)、互余的定義、互補的定義，難度不大．
　
4．使代數(shù)式 有意義的x的取值范圍（　�。�
　 A． x＞2 B． x≥2 C． x＞3 D． x≥2且x≠3

考點： 二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．
專題： 計算題．
分析： 分式有意義：分母不為0；二次根式有意義，被開方數(shù)是非負數(shù)．
解答： 解：根據(jù)題意，得
 ，
解得，x≥2且x≠3．
故選D．
點評： 本題考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．
　
5．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（　�。�
　 A．   B．   C．   D． 

考點： 最簡二次根式．
分析： 判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
解答： 解：A、 = ，可化簡，故A選項錯誤；
B、 = =2 ，可化簡，故B選項錯誤；
C、 =|x|，可化簡，故C選項錯誤；
D、 不能化簡，是最簡二次根式，故D選項正確．
故選：D．
點評： 判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項式時要先因式分解后再觀察．
　
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足為D，AD=8，DB=2，則CD的長為（　�。�
 
　 A． 4 B． 16 C． 2  D． 4

考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： 利用相似三角形的判定和性質(zhì)，先求出△ADC∽△CDB，再根據(jù)對應邊成比例，可求出CD的值．
解答： 解：根據(jù)題里的已知條件，可知∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠CBD=90°，
所以∠ACD=∠CBD，而∠ADC=∠CDB=90°，
所以△ADC∽△CDB，則 ，
把AD=8，DB=2代入得，CD•CD=AD•DB=2×8=16，
所以CD=4．
故選：A．
點評： 此題運用了相似三角形的判定和性質(zhì)，兩個角對應相等，則兩三角形相似．
　
7．如圖，△ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是△ABC的面積的（　�。�
 
　 A．   B．   C．   D． 

考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)題意，易證△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面積比，再求出S△ABC．
解答： 解：∵AB被截成三等分，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴ ，
∴S△AFG：S△ABC=4：9
S△AEH：S△ABC=1：9
∴S△AFG= S△ABC
S△AEH= S△ABC
∴S陰影部分的面積=S△AFG?S△AEH= S△ABC? S△ABC= S△ABC
故選：C．
點評： 本題主要考查了利用三等分點求得各相似三角形的相似比，從而求出面積比計算陰影部分的面積，難度適中．
　
8．如果小磊將鏢隨意投中如圖所示的正方形木板（假設(shè)投中每個小正方形是等可能的），那么鏢落在陰影部分的概率為（　�。�
 
　 A．   B．   C．   D． 

考點： 幾何概率．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 看陰影部分的面積占正方形木板面積的多少即可．
解答： 解：陰影部分的面積為2+4=6，
∴鏢落在陰影部分的概率為 = ．
故選：A．
點評： 此題考查幾何概率的求法；用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．
　
9．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．動點P、Q分別在直線BC上運動，且始終保持∠PAQ=100°．設(shè)BP=x，CQ=y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（　�。�
 
　 A．   B．   C．   D． 

考點： 相似三角形的性質(zhì)；動點問題的函數(shù)圖象；等腰三角形的性質(zhì)．
專題： 壓軸題；動點型．
分析： 根據(jù)△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，則∠ABC=∠ACB=80°．根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，得到∠QAC=∠P，得到△APB∽△QAC，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求得x與y的函數(shù)關(guān)系式，即可進行判斷．
解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°
∴∠ACB=80°
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°
∴∠PAB+∠CAQ=80°
△ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°
∴∠AQC=∠PAB
同理：∠P=∠CAQ
∴△APB∽△QAC
∴ ，即 = ．
則函數(shù)解析式是y= ．
故選A．
點評： 注意本題不一定要通過求解析式來解決．能夠根據(jù)角度的關(guān)系，聯(lián)想到△APB∽△QAC是解決本題的關(guān)鍵．
　
10．如圖，點A在雙曲線y= 上，點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為（　�。�
 
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考點： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
分析： 根據(jù)雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關(guān)系S=|k|即可判斷．
解答： 解：過A點作AE⊥y軸，垂足為E，
∵點A在雙曲線y= 上，
∴四邊形AEOD的面積為1，
∵點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，
∴四邊形BEOC的面積為3，
∴四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3?1=2．
故選：B．
 
點評： 本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)�？疾榈囊粋�知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
　
二、填空題（每題3分，共24分，把答案直接填在答題紙相應的位置上）
11．命題“如果a=b，那么a2=b2”的逆命題是　如果a2=b2，那么a=b�。�

考點： 命題與定理．
分析： 把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題．命題“如果a=b，那么a2=b2”的條件是如果a=b，結(jié)論是a2=b2”，故逆命題是如果a2=b2，那么a=b．
解答： 解：“如果a=b，那么a2=b2”的逆命題是：如果a2=b2，那么a=b．
點評： 本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．
　
12．當a=　4　時，最簡二次根式 與 是同類二次根式．

考點： 同類二次根式．
分析： 根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程求解．
解答： 解：∵最簡二次根式 與 是同類二次根式，
∴a?2=10?2a，
解得：a=4．
故答案為4．
點評： 本題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．
　
13．某一時刻，身高1.6m的小明在陽光下的影長是0.4m，同一時刻同一地點測得旗桿的影長是5m，則該旗桿的高度是　20　m．

考點： 相似三角形的應用．
分析： 設(shè)該旗桿的高度為xm，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到同一時刻同一地點物體的高度與其影長的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．
解答： 解：設(shè)該旗桿的高度為xm，根據(jù)題意得，1.6：0.4=x：5，
解得x=20（m）．
即該旗桿的高度是20m．
故答案為：20．
點評： 本題考查了三角形相似的性質(zhì)：相似三角形對應邊的比相等．
　
14．一次函數(shù)y=ax+b圖象過一、三、四象限，則反比例函數(shù) （x＞0），在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而　增大�。�

考點： 反比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 首先根據(jù)一次函數(shù)y=ax+b圖象過一、三、四象限可以判定a＞0，b＜0，即判斷出反比例函數(shù)系數(shù)ab＜0，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可寫出正確答案．
解答： 解：∵一次函數(shù)y=ax+b圖象過一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函數(shù) （x＞0）的圖象位于第二、四象限內(nèi)，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大，
故答案為增大．
點評： 本題主要考查了反比例函數(shù)y= （k≠0）的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系的知識點，重點掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)：①、當k＞0時，圖象分別位于第一、三象限；當k＜0時，圖象分別位于第二、四象限．②、當k＞0時，在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減��；當k＜0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大．
　
15．如圖，線段AC、BD交于點O，請你添加一個條件：　AB∥CD（答案不唯一）　，使△AOB∽△COD．
 

考點： 相似三角形的判定．
專題： 開放型．
分析： 題中已給出一組對頂角相等，我們只要再給出另一組對應角相等，或兩組對應邊成比例即可．
解答： 解：∵∠COD=∠AOB，
∴只要∠OAB=∠OCD，∠ODC=∠OBA，∠OAB=∠ODC，∠OCD=∠OBA，AB∥CD等等，其中一項符合即可，答案不唯一．
點評： 本題考查了三角形相似的性質(zhì)，答案不唯一．
　
16．經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左或向右轉(zhuǎn)，若這三種的可能性相同，則兩輛汽車經(jīng)過十字路口全部繼續(xù)直行的概率為　 �。�

考點： 列表法與樹狀圖法．
專題： 圖表型．
分析： 畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式解答即可．
解答： 解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下：
 
一共有9種情況，兩輛汽車經(jīng)過十字路口全部繼續(xù)直行的有1種情況，
所以，P（兩輛汽車經(jīng)過十字路口全部繼續(xù)直行）= ．
故答案為： ．
點評： 本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
17．如圖，一束光線從y軸上的點A（0，1）出發(fā)，經(jīng)過x軸上的點C反射后經(jīng)過點B（6，2），則光線從A點到B點經(jīng)過的路線長度為　3 �。�
 

考點： 相似三角形的應用；坐標與圖形性質(zhì)．
專題： 跨學科．
分析： 如圖設(shè)A關(guān)于x軸的對稱點A'坐標是（0，?1），作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，在Rt△A'BD中，利用勾股定理即可求出A'B，也就求出了從A點到B點經(jīng)過的路線長．
解答： 解：A關(guān)于x軸的對稱點A'坐標是（0，?1）連接A′B，交x軸于點C，
作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，
故光線從點A到點B所經(jīng)過的路程A'B= = =3 ．
故答案為：3 ．
 
點評： 考查了相似三角形的應用級坐標與圖形性質(zhì)的知識，構(gòu)造直角三角形是解決本題關(guān)鍵，屬于中等難度題目．
　
18．如圖，直線y=?2x+2與x軸y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形，曲線y= 在第一象限經(jīng)過點D．則k=　3�。�
 

考點： 反比例函數(shù)綜合題．
專題： 計算題．
分析： 作DE⊥x軸，垂足為E，連OD．證出△BOA≌△AED，得到AE=BO，AO=DE，從而求出S△DOE，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，求出k的值．
解答： 解：作DE⊥x軸，垂足為E，連OD．
∵∠DAE+∠BAO=90°，∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠DAE=∠OBA，
又∵∠BOA=∠AED，AB=DA，
∴△BOA≌△AED（HL），
∴OA=DE．
∵y=?2x+2，可知B（0，2），A（1，0），
∴OA=DE=1，
∴OE=OA+AE=1+2=3，
∴S△DOE= •OE•DE= ×3×1= ，
∴k= ×2=3．
故答案為：3．
 
點評： 本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，構(gòu)造△BOA≌△AED是解題的關(guān)鍵．
　
三、解答題（本大題共11小題，共76分，把解答過程寫在答題紙相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程，推演步驟或文字說明）．
19．化簡或求值
（1）（1+ ）÷
（2）1? ÷ ，其中a=? ，b=1．

考點： 分式的化簡求值；分式的混合運算．
專題： 計算題．
分析： （1）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果；
（2）原式第二項利用除法法則變形，約分后兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結(jié)果，將a與b的值代入計算即可求出值．
解答： 解：（1）原式= ÷ = • = ；
（2）原式=1? • =1? = = ，
當a=? ，b=1時，原式=4．
點評： 此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
　
20．計算
（1）
（2） ．

考點： 二次根式的混合運算．
專題： 計算題．
分析： （1）先根據(jù)二次根式的乘除法則運算，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可．
解答： 解：（1）原式= ? +2
=4? +2
=4+ ；
（2）原式=5? + ?1
=4+ ．
點評： 本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．
　
21．解方程： + =2．

考點： 解分式方程．
專題： 計算題．
分析： 分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：3?x=2x?4，
解得：x= ，
經(jīng)檢驗x= 是分式方程的解．
點評： 此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
　
22．在一個布口袋里裝著白、紅、黑三種顏色的小球，它們除顏色之外沒有任何其它區(qū)別，其中有白球3只、紅球2只、黑球1只．袋中的球已經(jīng)攪勻．
（1）閉上眼睛隨機地從袋中取出1只球，求取出的球是黑球的概率；
（2）若取出的第1只球是紅球，將它放在桌上，閉上眼睛從袋中余下的球中再隨機地取出1只球，這時取出的球還是紅球的概率是多少？
（3）若取出一只球，將它放回袋中，閉上眼睛從袋中再隨機地取出1只球，兩次取出的球都是白球概率是多少？（用列表法或樹狀圖法計算）

考點： 列表法與樹狀圖法．
專題： 圖表型．
分析： （1）根據(jù)概率的意義解答；
（2）根據(jù)袋中還剩5只球，然后根據(jù)概率的意義解答；
（3）列出圖表，然后根據(jù)概率公式列式進行計算即可得解．
解答： 解：（1）∵一共有6只球，黑球1只，
∴取出的球是黑球的概率為 ；

（2）∵取出1只紅球，
∴袋中還有5只球，還有1只紅球，
∴取出的球還是紅球的概率是 ；

（3）根據(jù)題意列表如下：
 白1 白2 白3 紅1 紅2 黑
白1  白1白1 白1白2 白1白3 白1紅1 白1紅2 白1黑
白2 白2白1  白2白2 白2白3 白2紅1 白2紅2 白2黑
白3 白3白1 白3白2  白3白3 白3紅1 白3紅2 白3黑
紅1 紅1白1 紅1白2 紅1白3  紅1紅1 紅1紅2 紅1黑
紅2 紅2白1 紅2白2 紅2白3 紅2紅1 紅2紅2 紅2黑
黑 黑  白1 黑  白2 黑  白3 黑  紅1 黑  紅2  黑  黑
一共有36種情況，兩次取出的球都是白球的情況數(shù)有9種，
所以，P（兩次取出的球都是白球）= = ．
點評： 本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
23．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△OBC的頂點分別為O（0，0），B（3，?1）、C（2，1）．
（1）以點O（0，0）為位似中心，按比例尺2：1在位似中心的異側(cè)將△OBC放大為△OB′C′，放大后點B、C兩點的對應點分別為B′、C′，畫出△OB′C′，并寫出點B′、C′的坐標：B′（　?6　，　2�。�，C′（　?4　，　?2�。�；
（2）在（1）中，若點M（x，y）為線段BC上任一點，寫出變化后點M的對應點M′的坐標（　?2x　，　?2y�。�．
 

考點： 作圖-位似變換．
專題： 網(wǎng)格型．
分析： （1）延長BO，CO，根據(jù)相似比，在延長線上分別截取AO，BO，CO的2倍，確定所作的位似圖形的關(guān)鍵點A'，B'，C'再順次連接所作各點，即可得到放大2倍的位似圖形△OB'C'；再根據(jù)點的位置寫出點的坐標即可；
（2）M′的坐標的橫坐標、縱坐標分別是M的坐標的2倍的相反數(shù)．
解答： 解：（1）如圖（2分）
B′（?6，2），C′（?4，?2）

（2）M′（?2x，?2y）．
 
點評： 本題考查了畫位似圖形．畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．
　
24．如圖，在△ABC中，AD是角平分錢，點E在AC上，且∠EAD=∠ADE．
（1）求證：△DCE∽△BCA；
（2）若AB=3，AC=4．求DE的長．
 

考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）利用已知條件易證AB∥DE，進而證明△DCE∽△BCA；
（2）首先證明AE=DE，設(shè)DE=x，所以CE=AC?AE=AC?DE=4?x，利用（1）中相似三角形的對應邊成比例即可求出x的值，即DE的長．
解答： （1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DA，
∵∠EAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AB∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
設(shè)DE=x，
∴CE=AC?AE=AC?DE=4?x，
∵△DCE∽△BCA，
∴DE：AB=CE：AC，
即x：3=（4?x）：4，
解得：x= ，
∴DE的長是 ．
點評： 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度不大．
　
25．某商店第一次用6000元購進了練習本若干本，第二次又用6000元購進該款練習本，但這次每本進貨的價格是第一次進貨價格的1.2倍，購進數(shù)量比第一次少了1000本．
（1）問：第一次每本的進貨價是多少元？
（2）若要求這兩次購進的練習本按同一價格全部銷售完畢后獲利不低于4500元，問每本售價至少是多少元？

考點： 分式方程的應用；一元一次不等式的應用．
分析： （1）設(shè)第一次每本的進貨價是x元，根據(jù)提價之后用6000元購進數(shù)量比第一次少了1000本，列方程求解；
（2）設(shè)售價為y元，根據(jù)獲利不低于4500元，列不等式求解．
解答： 解：（1）設(shè)第一次每本的進貨價是x元，
由題意得， ? =1000，
解得：x=1．
答：第一次每本的進貨價是1元；
（2）設(shè)售價為y元，
由題意得，（6000+5000）y?12000≥4500，
解得：y≥1.5．
答：每本售價為1.5元．
點評： 本題考查了分式方程的應用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗．
　
26．如圖，一次函數(shù)y1=mx+n的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)y2= （x＜0）交于點C，過點C分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點E、F．若OB=2，CF=6， ．
（1）求點A的坐標；
（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．
 

考點： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
專題： 計算題．
分析： （1）利用 = ，OE=CF=6，可計算出OA=2，于是得到A點坐標為（?2，0）；
（2）由于B點坐標為（0，?2），則可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式為y1=?x?2，再利用一次函數(shù)解析式確定C點坐標為（?6，4），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征計算出k=?24，所以反比例函數(shù)解析式為y2=? ．
解答： 解：（1）∵ = ，
而OE=CF=6，
∴OA=2，
∴A點坐標為（?2，0）；
（2）B點坐標為（0，?2），
把A（?2，0）、B（0，?2）代入y1=mx+n得 ，即得 ，
∴一次函數(shù)解析式為y1=?x?2；
把x=?6代入y1=?x?2得y=6?2=4，
∴C點坐標為（?6，4），
∴k=?6×4=?24，
∴反比例函數(shù)解析式為y2=? ．
點評： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．
　
27．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
（1）求證：BE=DF
（2）連接AC交EF于點D，延長OC至點M，使OM=OA，連結(jié)EM、FM，試證明四邊形AEMF是菱形．
 

考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．
專題： 證明題．
分析： （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=DF；
（2）求出CE=CF，然后利用“邊邊邊”證明△AEC和△AFC全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠EAC=∠FAC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得EM=FM，再判斷出EF垂直平分AM，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AE=EM，然后根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明．
解答： （1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；

（2）解：∵BC=CD，BE=DF，
∴BC?BE=CD?CF，
即CE=CF，
在△AEC和△AFC中， ，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EM=FM，
∵OM=OA，
∴EF垂直平分AM，
∴AE=EM，
∴AE=EM=FM=AF，
∴四邊形AEMF是菱形．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，（1）熟記正方形的性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
　
28．直線y=x+b與雙曲線y= 交于點A（?1，?5）．并分別與x軸、y軸交于點C、B．
（1）直接寫出b=　?4　，m=　5　；
（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b＜ 的解集為　x＜?1或0＜x＜5��；
（3）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構(gòu)成的三角形與△OAB相似？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．
 

考點： 反比例函數(shù)綜合題．
分析： （1）把A的坐標分別代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，即可求得b和m的值；
（2）根據(jù)圖象即可直接寫出，即反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上部的部分x的取值；
（3）求得△OAB的邊長，點D在x軸的正半軸上，可以分D在線段OC上（不在O點）或線段OC的延長線上兩種情況討論，依據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求得．
解答： 解：（1）把A（?1，?5）代入y=x+b得：?5=?1+b，解得：b=?4．
把A（?1，?5）代入y= ，得：m=（?1）（?5）=5．
故答案是：?4，5；
（2）解集為：x＜?1或0＜x＜5，
故答案是：x＜?1或0＜x＜5；
（3）OA= = ，
在y=x?4中，令x=0，解得y=?4，則B的坐標是（0，?4）．
令y=0，解得：x=4，則C的坐標是（4，0）．
故OB=4，AB= = ，BC=4 ，OC=4．
∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．
過A作AD⊥y軸于點D．則△ABD是等腰直角△，∠ABD=45°，∠ABO=135°．
1）當D在線段OC（不與O重合）上時，兩個三角形一定不能相似；
2）當D在線段OC的延長線上時，設(shè)D的坐標是（x，0），則CD=x?4，
∠ABO=∠BCD=135°，
當△AOB∽△DBC時， = ，即 = ，
解得：x=6，
則D的坐標是（6，0）；
當△AOB∽△BDC時， ，即 = ，
解得：x=20，
則D的坐標是（20，0）．
則D的坐標是（6，0）或（20，0）．
 
點評： 本題是一次函數(shù)、反比例函數(shù)與相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，注意到∠ABO=∠BCD=135°是本題的關(guān)鍵．
　
29．如圖①，在矩形ABCD中，AB= ，BC=3，在BC邊上取兩點E、F（點E在點F的左邊），以EF為邊所作等邊△PEF，頂點P恰好在AD上，直線PE、PF分別交直線AC于點G、H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）若△PEF的邊EF在線段CB上移動，試猜想：PH與BE有何數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論；
（3）若△PEF的邊EF在射線CB上移動（分別如圖②和圖③所示，CF＞1，P不與A重合），（2）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，直接寫出你發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論．
 

考點： 相似形綜合題．
分析： （1）過P作PQ⊥BC，垂足為Q，由四邊形ABCD為矩形，得到∠B為直角，且AD∥BC，得到PQ=AB，又△PEF為等邊三角形，根據(jù)“三線合一”得到∠FPQ為30°，在Rt△PQF中，設(shè)出QF為x，則PF=2x，由PQ的長，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出x的值，即可得到PF的長，即為等邊三角形的邊長；
（2）PH?BE=1，過E作ER垂直于AD，如圖所示，首先證明△APH為等腰三角形，在根據(jù)矩形的對邊平行得到一對內(nèi)錯角相等，可得∠APE=60°，在Rt△PER中，∠REP=30°，根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由PE求出PR，由PA=PH，則PH?BE=PA?BE=PA?AR=PR，即可得到兩線段的關(guān)系；
（3）當若△PEF的邊EF在射線CB上移動時（2）中的結(jié)論不成立，由（2）的解題思路可知當1＜CF＜2時，PH=1?BE，當2＜CF＜3時，PH=BE?1．
解答： 解：（1）過P作PQ⊥BC于Q（如圖1），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ=AB= ，
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°，
設(shè)PF=2x，QF=x，PQ= ，根據(jù)勾股定理得：（2x）2=x2+（ ）2，
解得：x=1，故PF=2，
∴△PEF的邊長為2；

（2）PH?BE=1，理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB= ，BC=3，
∴由勾股定理得AC=2 ，
∴CD= AC，
∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFE=60°，
∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，
∴PA=PH，
∴△APH是等腰三角形，
作ER⊥AD于R（如圖2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，
∴PR= PE=1，
∴PH?BE=PA?BE=PR=1．

（3）結(jié)論不成立，
當1＜CF＜2時，PH=1?BE，
當2＜CF＜3時，PH=BE?1．
 
 
點評： 此題綜合考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判別與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．學生作第三問時，應借助第二問的結(jié)論，結(jié)合圖形，多次利用數(shù)學中等量代換的方法解決問題，這就要求學生在作幾何題時注意合理運用各小題之間的聯(lián)系．