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第二十九章　投影與視圖
29．1　投影
01　　基礎(chǔ)題
知識點1　平行投影
1．平行投影中的光線是(A)
A．平行的                  B．聚成一點的
C．不平行的                D．向四面發(fā)散的
2．在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是(D)
 
3．太陽光照射一扇矩形的窗戶，投在平行于窗戶的墻上的影子的形狀是(A)
A．與窗戶全等的矩形 
B．平行四邊形
C．比窗戶略小的矩形 
D．比窗戶略大的矩形
4．(保定章末測試)在同一時刻，身高1.6米的小強在陽光下的影長為0.8米，一棵大樹的影長為4.8米，則樹的高度為9.6米．

知識點2　中心投影
5．下列光線所形成的投影不是中心投影的是(A)
A．太陽光線                 B．臺燈的光線
C．手電筒的光線             D．路燈的光線
6．(保定章末測試)如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處走到B處這一過程中，他在地上的影子(C)
 
A．逐漸變短
B．逐漸變長
C．先變短后變長
D．先變長后變短
7．如圖，一盞路燈O、電線桿與三個等高的標(biāo)桿整齊劃一地排列在馬路一側(cè)的一直線上，AB，CD，EF是三個標(biāo)桿，相鄰的兩個標(biāo)桿之間的距離都是2 m，已知AB，CD在燈光下的影長分別為BM＝1.6 m，DN＝0.6 m.
(1)請畫出路燈O的位置和標(biāo)桿EF在路燈燈光下的影子；
(2)求標(biāo)桿EF的影長．
 
解：(1)如圖．
(2)連接AE，則AE∥MP.
設(shè)EF的影長為x m，由相似三角形知識得：
ACMN＝OCON＝CENP，即21.6＋2－0.6＝20.6＋2＋x，
解得x＝0.4.
答：EF的影長為0.4 m.

知識點3　正投影
8．一根筆直的小木棒(記為線段AB)，它的正投影為線段CD，則下列各式中一定成立的是(D)
A．AB＝CD                B．AB≤CD
C．AB>CD                 D．AB≥CD
9．(南寧中考)把一個正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是(A)
 　
10．小明拿一個矩形木框在陽光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是(A)
 

02　　中檔題
11．(保定章末測試)在太陽光下，轉(zhuǎn)動一個正方體，觀察正方體在地上投下的影子，那么這個影子最多可能是幾邊形(C)
A．四邊形              B．五邊形
C．六邊形              D．七邊形
12．(x疆中考)如圖，某小區(qū)內(nèi)有一條筆直的小路，路的正中間有一路燈，晚上小華由A處走到B處，將她在燈光照射下的影長l與行走的路程s之間的變化關(guān)系用圖象刻畫出來，大致圖象是(C)
 
 
13．(盧龍模擬)如圖，一根電線桿的接線柱部分AB在陽光下的投影CD的長為1米，太陽光線與地面的夾角∠ACD＝60°，則AB的長為(A)
A.3米               B.12米 
C.32米               D.33米
 
14．(保定章末測試)如圖，路燈距地面8米，身高1.6米的小明從距離燈的底部(點O)20米的點A處，沿OA所在的直線行走14米到點B時，人影長度(C)
A．變長3.5米             B．變長1.5米
C．變短3.5米              D．變短1.5米
　　　
15．(佛山中考)如圖，在水平地面上豎立著一 面墻AB，墻外有一盞路燈D.光線DC恰好通過墻的最高點B，且與地面形成37°角．墻在燈光下的影子為線段AC，并測得AC＝5.5米．
(1)求墻AB的高度；(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)
(2)如果要縮短影子AC的長度，同時不能改變墻的高度和位置，請你寫出兩種不同的方法．
 
解：(1)在Rt△ABC中，AC＝5.5米，∠C＝37°，
tanC＝ABAC，
∴AB＝AC•tanC≈5.5×0.75≈4.1(米)．
(2)第一種方法是增加路燈D的高度，第二種方法是使路燈D向墻靠近．

 
29.2　三視圖
第1課時　幾何體的三視圖
01　　基礎(chǔ)題
知識點1　三視圖的有關(guān)概 念
1．(義烏中考)如圖的幾何體由五個相同的小正方體搭成，它的主視圖是(A)
 
2．(溫州中考)某運動會頒獎臺如圖所示，它的主視圖是(C)
 
3．(寧波中考)如圖所示的幾何體的俯視圖為(D)
 
4．(宜昌中考)將一根圓柱形的空心鋼管任意放置，它的主視圖不可能是(A)
 
5．(臨沂中考)如圖所示的幾何體是由五個小正方體組成的，它的左視圖是(D)
 
6．(遷安一模)下列幾何體中，同一個幾何體的主視圖與俯視圖不同的是(C)
 
7．(襄陽中考)如圖所示的幾何體是由6個大小完全一樣的正方體組合而成的，它的俯視圖是(A)
 
8．(麗水中考)如圖是底面為正方形的長方體，下面有關(guān)它的三個視圖的說法正確的是(B)
 
A．俯視圖與主視圖相同
B．左視圖與主視圖相同
C．左視圖與俯視圖相同
D．三個視圖都相同
9．(濟寧中考)下列幾何體中，主視圖、俯視圖、左視圖都相同的是(B)
 
10．用12個大小相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，標(biāo)有正確小正方體個數(shù)的俯視圖是(A)
 
知識點2　三視圖的畫法
11．(杭州中考)下列選項中，如圖所示的圓柱的三視圖畫法正確的是(A)
 
12．畫出如圖所示幾何體的三視圖．
 
解：如圖．　

02　　中檔題
13．(河北中考)如圖是由相同的小正方體木塊粘在一起的幾何體，它的主視圖是(A)
 
14．(邢臺臨城縣一模)如圖所示的幾何體的俯視圖是(D)
 
15．(菏澤中考)下列幾何體是由4個相同的小正方體搭成的，其中左視圖與俯視圖相同的是(C)
 
16．一位美術(shù)老師在課堂上進行立體模型素描教學(xué)時，把由 圓錐與圓柱組成的幾何體(如圖所示，圓錐在圓柱上底面正中間放置)擺在講桌上，請分別畫出這個幾何體的三視圖(從正面、左面、上面看得到的視圖)．
 
解：如圖.

17．一種機器上有一個進行轉(zhuǎn)動的零件叫燕尾槽(如圖)，為了準(zhǔn)確做出這個零件，請畫出它的三視圖．
 
解：如圖.

03　　綜合題
18．中央電視臺有一個非常受歡迎的娛樂節(jié)目叫《墻來了！》．選手需按墻上的空洞造型 擺出相同姿勢，才能穿墻而過，否則會被墻推入水池．類似地，有一個幾何體恰好無縫隙地以三個不同形狀的“姿勢”穿過“墻”上的三個空洞，則該幾何體為下列幾何體中的哪一個？選擇并說明理由．
              
解：比較各幾何體的三視圖，考慮是否有短形，圓及三角形即可．對于A，三視圖分別為短形、三角形、圓(含直徑)，符合題意；對于B，三視圖分別為三角形、三角形、圓(含圓心)，不符合題意；對于C，三視圖分別為正方形、正方形、正方形，不符合題意；對于D，三視圖分別為三角形、三角形、矩形(含對角線)，不符合題意．故選A.

 
第2課時　由三視圖確定幾何體
01　　基礎(chǔ)題
知識點　由三視圖確定幾何體
1 ．(金華中考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是(D)
 
A．球體
B．圓錐
C．立方體
D．圓柱
2．(x疆中考)某幾 何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是(D)
A．球                 B．圓柱
C．三棱錐             D．圓錐
 
3．(承德六校一模)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體是(C)
A．圓錐                  B．圓柱
C．正三棱柱              D．正三棱錐
　　　　
4．(云南中考)若一個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖是半徑相等的圓，則這個幾何體是(C)
A．圓柱               B．圓錐
C．球                 D．正方體
5．(武漢中考)某物體的主視圖如圖所示，則該物體可能為(A)
 
6．(唐山古冶區(qū)一模)如圖是由三個相同小正方體組成的幾何體的主視圖，那么這個幾何體可以是(A)
 
7．(聊城中考)如圖是由若干個小正方體組成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù)，這個幾何體的主視圖是(C)
 
8．(河北中考)圖中的三視圖所對應(yīng)的幾何體是(B)
                
9．(深圳模擬)如圖是一個幾何體的俯視圖，則該幾何體可能是(B)
 
02　　中檔題
10．(金華中考)一個幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是(D)
 　
11．(唐山路南區(qū)一模)如圖為某幾何體的三視圖，則組成該幾何體的小正方體的個數(shù)是(A)
 
A．5                    B．6               C．7            D．8
12．(懷化中考)如圖，甲、乙、丙圖形都是由大小相同的正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù)，其中主視圖相同的是(B)
 
A．僅有甲和乙相同 
B．僅有甲和丙相同
C．僅有乙和丙相同 
D．甲、乙、丙都相同
13．(保定蓮池區(qū)模擬)一張桌子上擺放有若干個大小、形狀完全相同的碟子，現(xiàn)從三個方向看，其三種視圖如圖所示，則這張桌子上碟子的總數(shù)為(B)
 
A．11              B．12                C．13            D．14
解析：因為右上角的盤子有5個，左下角的盤子有3個，左上角的盤子有4個，3＋4＋5＝12(個)，故選B.
14．用4個棱長為1的正方體搭成一個幾何體模型，其主視圖與 左視圖如圖所示，則該立方體的俯視圖不可能是(D)
 
 
15．如圖是由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖和左視圖，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是(C)
 

A．5或6或7                B．6或7 
C．6或7 或8               D．7或8或9
16．根據(jù)如圖所示的幾何體的三視圖描述物體的形狀．
 
解：幾何體的形狀為：
 
03　　綜合題
17．某個長方體的主視圖是邊長為1 cm的正方形．沿這個正方形的對角線向垂直于正方形的方向?qū)㈤L方體切開，截面是一個正方形．那么這個長方體的俯視圖是(D)
 
 
第3課時　由三視圖確定幾何體的表面積或體積
01　　基礎(chǔ)題
知識點1　幾何體的展開圖
1．(保定章末測試)一個幾何體的表面展開圖如圖所示，則這個幾何體是(A)
A．四棱錐              B．四棱柱
C．三棱錐              D．三棱柱
 
2．(宜昌中考)如圖是一個小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，與“愛”字一面的相對面上的字是(C)
A．美               B．麗            C．宜            D．昌
　　
3．(唐山路南區(qū)模擬)下列圖形中可以作為一個三棱柱的展開圖的是(A)
 
4．(梧州中考)如圖是一個圓錐，下列平面圖形中既不是它的三視圖，也不是它的側(cè)面展開圖的是(D)
 
5．(舟山中考)一個正方體 的表面展開圖如圖所示，將其折疊成立方體后，“你”字對面的字是(C)
 
A．中
B．考
C．順
D．利
6．(唐山豐南區(qū)一模)如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的展開圖可以是(A)
 
知識點2　由三視圖確定幾何體的表面積或體積
7．(連云港中考)由6個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，比較它的主視圖、左視圖和俯視圖的面積，則(C)
 
A．三個視圖的面積一樣大
C．主視圖的面積最小
C．左視圖的面積最小
D．俯視圖的面積最小
8．(湖州中考)如圖是按1∶10的比例畫出的一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是(D)
A．200 cm2                   B．600 cm2
C．100π cm2                D．200π cm2
 
9．(河北模擬)如圖是一個長方體的三視圖(單位：cm)，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算這個長方體的體積是24cm3.
　　　
10．如圖是某幾何體的展開圖．
(1)這個幾何體的名稱是圓柱；
(2)畫出這個幾何體的三視圖；
(3)求這個幾何體的體積．(π取3.14)
 
解：(2)三視圖為：
 
(3)體積為πr2h≈3.14×52×20＝1 570.

02　　中檔題
11．(呼和浩特中考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(D)
A．4π                B． 3π
C．2π＋4             D．3π＋4
 
12．(呼和浩特中考)如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得該幾何體的體積為(B)
A．60π              B．70π
C．90π              D．160π
　　
13．(濱州中考)如圖，一個幾何體的三視圖分別是兩個矩形、一個扇形，則這個幾何體表面積的大小為15π＋12．
 
解析：由三視圖可以看出這是一個殘缺的圓柱，側(cè)面是由一個曲 面和兩個長方形構(gòu)成，上下底面是兩個扇形，S側(cè)＝34×2π×2×3＋2×3＋2×3＝9π＋12，S底面＝2×34×π×22＝6π.所以這個幾何體的表面積為15π＋12.
14．(石家莊四十二中一模)由幾個相同的邊長為1的小立方塊搭成的幾何體的俯視圖如圖所示．方格中的數(shù)字表示該位置的小立方塊的個數(shù)．
(1)請在下面方格紙中分別畫出這個幾何體的主視圖和左視圖．
 
(2)根據(jù)三視圖，請你求出這個組合幾何體的表面積(包括底面積)．
解：(1)如圖．
(2)幾何體的表面積為：(3＋4＋5)×2＝24.

15．如圖是某工件的三視圖，求此工件的全面積．
 
解：由三視圖可知，該工件是底面半徑為10 cm，高為30 cm的圓錐．
圓錐的母線長為302＋102＝1010(cm)，
圓錐的側(cè)面積為12×20π×1010＝10010π(cm2)，
圓錐的底面積為102×π＝100π(cm2)，
圓錐的全面積為100π＋10010π＝100(1＋10)π(cm2)．

03　　綜合題
16．如圖是一個幾何體的三視圖(單位：厘米)．
 
(1)寫出這個幾何體的名稱；
(2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積；
(3)如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點D，請你求出這個線路的最短路程．
 
解：(1)圓錐．
(2)S表＝S扇形＋S圓＝πrl＋πr2＝12π＋4π＝16π(平方厘米)．
(3)如圖，將圓錐側(cè)面展開，線段BD為所求的最短路程．
由條件得，∠BAB′＝120°，
∵C為弧BB′的中點，AB＝6厘米，
∴BD＝33厘米．

 
章末復(fù)習(xí)(四)　投影與視圖
01　　基礎(chǔ)題
知識點1　投影
1．如圖，箭頭表示投影線的方向，則圖中熱水瓶的正投影是(A)
 
2．如圖所示，夜晚路燈下同樣高的旗桿，離路燈越近，它的影子(B)
 
A．越長 
B．越短 
C．一樣長 
D．無法確定
3．如圖所示，分別是兩棵樹及其影子的情形．
(1)哪個圖反映了陽光下的情形？哪個圖反映了路燈下的情形？你是用什么方法判斷的？試畫圖說明；
(2)在兩幅圖中畫出人的影子．
 圖1
 圖2

解：(1)圖1是路燈下的情形；圖2是陽光下的情形；如圖所示，作出光線，光線互相平行，說明是陽光下的投影；光線交于一點，說明是路燈下的投影．
(2)人的影子如圖所示．

知識點2　三視圖
4．(自貢中考)下面幾何體中，主視圖是矩形的是(A)
 
5．如圖所示的四個幾何體，其中左視圖與俯視圖相同的幾何體共有(B)
 
A．1個               B．2個                   C．3個              D．4個
6．(成都中考)如圖所示的幾何體是由4個大小相同的小立方體搭成，其俯視圖是(C)
 
7．(石家莊四十二中一模)某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則該幾何體可能是(C)
 
A．長方體             B．圓錐                C．圓柱            D．球
8．(大慶中考)由若干邊長相等的小正方體構(gòu)成的幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖如圖所示，則構(gòu)成這個幾何體的小正方體有(B)
 
A．5個            B．6個             C．7個             D．8個
9．(青島中考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正六邊形，則該幾何體的表面積為48＋123．
 
02　　中檔題
10．(棗莊中考)有3塊積木，每一塊的各面都涂上不同的顏色，3塊的涂法完全相同．現(xiàn)把它們擺放成不同的位置(如圖)，請你根據(jù)圖形判斷涂成綠色一面的對面涂的顏色是(C)
 
A．白             B．紅              C．黃          D．黑
11．如圖1是一個正三棱柱毛坯，將其截去一部分，得到一個工件如圖2.對于這個工件，俯視圖、主視圖依次是(D)
 
 
A．c，a                B．c，d                C．b，d            D．b，a
12．如圖是由一些大小相同的小立方體組成的幾何體的主視圖和左視圖，則組成這個幾何體的小立方體的個數(shù)不可能是(D)
 
A．3                 B．4              C．5            D．6
13．如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)求得該幾何體的體積為(B)
A．236π               B．136π  
C．132π              D．120π
 
14．如圖，陽光通過窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7 m寬的亮區(qū)DE，已知亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE＝8.7 m，窗高AB＝1.8 m，那么窗口底邊離地面的高度BC＝4m.
　　
解析：∵AE∥BD，∴Rt△AEC∽Rt△BDC.∴BCAC＝DCEC.設(shè)BC為x，則AC＝x＋1.8，EC＝8.7，DC＝EC－ED＝8.7－2.7＝6，∴可得方程x6＝x＋1.88.7.解得x＝4.∴窗口底邊離地面的高度BC＝4 m.

15．(北京中考)如圖，小軍、小珠之間的距離為2.7 m，他們在同一盞路燈下的影長分別為1.8 m，1.5 m，已知小軍、小珠的身高分別為1.8 m，1.5 m，則路燈的高為3m.
 
解析：如圖，因為小軍、小珠都是身高與影長相等，∴∠E＝∠F＝45°.∴A B＝BE＝BF.設(shè)路燈的高AB為x m，則BD＝x－1.5，BC＝x－1.8.又CD＝2.7，∴x－1.5＋x－1.8＝2.7.解得x＝3.

03　　綜合題
 16．某興趣小組開展課外活動，A、B兩地相距12米，小明從點A出發(fā)沿AB方向勻速前進，2秒后到達點D，此時他(CD)在某一燈光下的影長為AD，繼續(xù)按原速行走2秒到達點F，此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達點H，此時他(GH)在同一燈光下的影長為BH(點C、E、G在一條直線上)．
(1)請在圖中畫出光源O點的位置，并畫出位于點F時在這個燈光下的影長FM(不寫畫法)；
(2)求小明原來的速度．
 
解：(1)如圖．
(2)設(shè)小明原來的速度為x m/s，則AD＝DF＝CE＝2x m，F(xiàn)H＝EG＝3x m，AM＝(4x－1.2)m，BM＝(13.2－4x)m.
∵CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB.
∴CEAM＝OEOM，EGMB＝OEOM.
∴CEAM＝EGMB，即2x4x－1.2＝3x13.2－4x.
∴20x2－30x＝0.
解得x1＝1.5，x2＝0(不合題意，舍去)．
經(jīng)檢驗，x＝1.5是原方程的解，故x＝1.5.
答：小明原來的速度為1.5 m/s.