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第四章 一次函數(shù)
4.1函數(shù)
專題 函數(shù)圖象
1. （2012萊蕪）下列四幅圖象近似刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，請(qǐng)按圖象順序?qū)⑾旅嫠姆N情景與之對(duì)應(yīng)排序（　　）

①一輛汽車在公路上勻速行駛（汽車行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系）
②向錐形瓶中勻速注水（水面的高度與注水時(shí)間的關(guān)系）
③將常溫下的溫度計(jì)插入一杯熱水中（溫度計(jì)的讀數(shù)與時(shí)間的關(guān)系）
④一杯越來(lái)越?jīng)龅乃�（水溫與時(shí)間的關(guān)系）
A．①②③④B．③④②①C．①④②③D．③②④①
2. 小亮同學(xué)騎車上學(xué)，路上要經(jīng)過(guò)平路、下坡、上坡和平路（如圖），若小亮上坡、平路、下坡的速度分別為v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，則小亮同學(xué)騎車上學(xué)時(shí)，離家的路程s與所用時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是（　　）

A． B． C． D．
3. 早晨小欣與媽媽同時(shí)從家里出發(fā)，步行與自行車向相反方向的兩地上學(xué)與上班，如圖是他們離家的路程（米）與時(shí)間（分鐘）之間的函數(shù)圖象，媽媽騎車走了10分鐘時(shí)接到小欣的電話，立即以原速度返回并前往學(xué)校，若已知小欣步行的速度為50米/分鐘，并且媽媽與小欣同時(shí)到達(dá)學(xué)校．完成下列問(wèn)題：
（1）在坐標(biāo)軸兩處的括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)；
（2）求小欣早晨上學(xué)需要的時(shí)間．

1.D 【解析】 ③將常溫下的溫度計(jì)插入一杯熱水中溫度計(jì)的讀數(shù)一開(kāi)始較快，后來(lái)變慢；
②向錐形瓶中勻速注水，水面的高度一開(kāi)始隨注水時(shí)間的增加較慢，后來(lái)變快；④一杯越來(lái)越?jīng)龅乃�，水溫隨著時(shí)間的增加而越來(lái)越低；①一輛汽車在公路上勻速行駛，汽車行駛的路程與時(shí)間成正比例關(guān)系．故順序?yàn)棰邰冖堍伲�故選D．
2.C 【解析】 A.從圖象上看小亮走平路的路程不變是不正確的；
B.從圖象上看小亮走的路程有一段隨時(shí)間變少了，不正確；
C.小亮走的路程應(yīng)隨時(shí)間的增大而增大，兩次平路的兩條直線互相平行，此圖象符合，故正確；
D.因?yàn)槠铰泛蜕掀侣芳跋缕侣返乃俣炔灰粯�，所以不�?yīng)是一條直線．
故選C．
3.解：（1）x軸處填20，y軸處填1250；
（2）由圖象可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，-2500），說(shuō)明媽媽騎車速度為250米/分鐘，
并且返回到家的時(shí)間為20分鐘，
設(shè)小欣早晨上學(xué)需要的時(shí)間為x分鐘，則媽媽到家后在B處追到小欣的時(shí)間為（x-20）分鐘，根據(jù)題意得：50x=250（x-20），
解得x=25，
答：小欣早晨上學(xué)需要的時(shí)間為25分鐘．

4.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)
專題 一次函數(shù)探究題
1.用根火柴可以拼成如圖1所示的x個(gè)正方形，還可以拼成如圖2所示的2y個(gè)正方形，那么用含x的代數(shù)式表示y，得______________.

2. 將長(zhǎng)為38c、寬為5c的長(zhǎng)方形白紙按如圖所示的方法黏合在一起，黏合部分的白紙寬為2c．
（1）求5張白紙黏合的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)x張白紙黏合后的總長(zhǎng)為yc，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（標(biāo)明自變量x的取值范圍）；
（3）用這些白紙黏合的總長(zhǎng)能否為362c？并說(shuō)明理由．

3. 如圖所示，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)回答問(wèn)題：

梯形個(gè)數(shù) 123 4 5…
圖形周長(zhǎng)58 111417…
（1）設(shè)圖形的周長(zhǎng)為l，梯形的個(gè)數(shù)為n，試寫出l與n的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求n=11時(shí)圖形的周長(zhǎng)．

答案：
1．y= x- 【解析】 由圖1可知：一個(gè)正方形有4條邊，兩個(gè)正方形有4+3條邊，
∴=4+3（x-1）=1+3x;由圖2可知：一組圖形有7條邊，兩組圖形有7+5條邊，
∴=7+5(y-1)=2+5y，所以1+3x=2+5y,即y= x- ．
2．解：（1）5張白紙黏合，需黏合4次，重疊2×4=8c．所以總長(zhǎng)為38×5-8=182（c）.
（2）x張白紙黏合，需黏合（x-1）次，重疊2（x-1）c，所以總長(zhǎng)y=38x-2（x-1）=36x+2（x≥1，且x為整數(shù)）.
（3）能.當(dāng)y=362時(shí)，得到36x+2=362，解得x=10,即10張白紙黏合的總長(zhǎng)為362c．
3．解：（1）由圖可以看出圖形的周長(zhǎng)=上下底的和+兩腰長(zhǎng)，∴l(xiāng)=3n+2.
（2）n=11時(shí)，圖形周長(zhǎng)為3×11+2=35．

4.3一次函數(shù)的圖象
專題一 根據(jù)k、b確定一次函數(shù)圖象
1. 如圖，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線l1：y=（k-2）x+k，和l2：y=kx的位置可能是（　�。�

A B C D
2. 下列函數(shù)圖象不可能是一次函數(shù)y=ax-（a-2）圖象的是（　　）

A B C D
已知a、b、c為非零實(shí)數(shù)，且滿足 ，則一次函數(shù)y=kx+（1+k）的圖象一定經(jīng)過(guò)第___________象限．
專題二 一次函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
4.春節(jié)期間，某批發(fā)商欲將一批海產(chǎn)品由A地運(yùn)往B地，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司均開(kāi)展海產(chǎn)品的運(yùn)輸業(yè)務(wù)，兩貨運(yùn)公司的收費(fèi)項(xiàng)目及收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示．已知運(yùn)輸路程為120千米，汽車和火車的速度分別為60千米/小時(shí)，100千米/小時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（　�。�
運(yùn)輸
工具運(yùn)輸費(fèi)
（元/噸•千米）冷藏費(fèi)
（元/噸•小時(shí)）過(guò)路費(fèi)
（元）裝卸及管理費(fèi)
（元）
汽車252000
火車1.8501600
A．當(dāng)運(yùn)輸貨物重量為60噸，選擇汽車
B．當(dāng)運(yùn)輸貨物重量大于50噸，選擇汽車
C．當(dāng)運(yùn)輸貨物重量小于50噸，選擇火車
D．當(dāng)運(yùn)輸貨物重量大于50噸，選擇火車
5. (2012四川綿陽(yáng)) 某種子商店銷售”黃金一號(hào)”玉米種子,為惠民促銷,推出兩種銷售方案供采購(gòu)者選擇.
方案一:每千克種子價(jià)格為4元，無(wú)論購(gòu)買多少均不打折；
方案二:購(gòu)買3千克以內(nèi)(含3千克)的價(jià)格為每千克5元,若一次性購(gòu)買超過(guò)3千克的,則超過(guò)3千克的部分的種子價(jià)格打7折.
(1)請(qǐng)分別求出方案一和方案二中購(gòu)買的種子數(shù)量 (千克)和付款金額 (元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若你去購(gòu)買一定量的種子,你會(huì)怎樣選擇方案？說(shuō)明理由.

6.（2012新疆）庫(kù)爾勒某鄉(xiāng)A 、B兩村盛產(chǎn)香梨,A村有香梨200噸, B村有香梨300噸,現(xiàn)將這批香梨運(yùn)到C 、D兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù),已知C倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸, D倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸;從A村運(yùn)往C 、D兩處的費(fèi)用分別為每噸40元和45元,從B村運(yùn)往C 、D兩處的費(fèi)用分別為每噸25元和32元.
設(shè)從A村運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的香梨為x噸，A 、B兩村運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的香梨運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA和yB元.
(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤?并求出yA、yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
收地

運(yùn)地CD總計(jì)
Ax噸200噸
B300噸
總計(jì)240噸260噸500噸
(2)當(dāng)x為何值時(shí),A村的運(yùn)費(fèi)較少?
(3)請(qǐng)問(wèn)怎樣調(diào)運(yùn),才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最小?求出最小值.

答案：
1．B 【解析】 由題意知，分三種情況：
（1）當(dāng)k＞2時(shí)，y=（k-2）x+k的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，y=kx的圖象y隨x的
增大而增大，并且l2比l1傾斜程度大，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
（2）當(dāng)0＜k＜2時(shí)，y=（k-2）x+k的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，y=kx的圖象y隨x的增大而增大，B選項(xiàng)正確；
（3）當(dāng)k＜0時(shí)，y=（k-2）x+k的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，y=kx的圖象y隨x的增大而減小，但l1比l2傾斜程度大，故A、D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．
2．B 【解析】 根據(jù)圖象知：
A.a＞0，-（a-2）＞0．解得0＜a＜2，所以有可能；
B.a＜0，-（a-2）＜0．兩不等式的解沒(méi)有公共部分，所以不可能；
C.a＜0，-（a-2）＞0．解得a＜0，所以有可能；
D.a＞0，-（a-2）＜0．解得a＞2，所以有可能．
故選B．
3．二 【 解析】 由 ，化簡(jiǎn)得 .
分兩種情況討論：
當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，得k=2，此時(shí)直線是y=2x+3，過(guò)第一、二、三象限；
當(dāng)a+b+c=0時(shí)，即a+b=-c，則k=-1，此時(shí)直線是y=-x，過(guò)第二、四象限．
綜上所述，該直線必經(jīng)過(guò)第二象限．
4.D 【解析】 設(shè)運(yùn)輸x噸貨物，根據(jù)題意，
汽車運(yùn)費(fèi)：y=2x×120+5x× +200=250x+200，
火車運(yùn)費(fèi)：y=1.8x×120+5x× +1600=222x+1600，
①250x+200=222x+1600，解得x=50，∴運(yùn)輸貨物為50噸時(shí)，選擇汽車與火車一樣；
②250x+200＜222x+1600，解得x＜50，∴運(yùn)輸貨物小于50噸時(shí)，選擇汽車運(yùn)輸；
③250x+200＞222x+1600，解得x＞50，∴運(yùn)輸貨物大于50噸時(shí)，選擇火車運(yùn)輸．
綜上所述，D選項(xiàng)符合．故選D．
5．解：(1)方案一：y=4x；
方案二：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y=5x ；當(dāng)x>3時(shí)，y=3×5+(x-3)×5×70%=3.5x+4.5.
(2)設(shè)購(gòu)買x千克的種子時(shí)，兩種方案所付金額一樣，則4x=3.5x+4.5，解這個(gè)方程得x=9，
∴當(dāng)購(gòu)買9千克種子時(shí)，兩種方案所付金額相同；當(dāng)購(gòu)買種子0＜x＜3時(shí)，方案一所付金額少，選擇方案一；
當(dāng)購(gòu)買種子3≤x＜9時(shí)，方案一所付金額少，選擇方案一；
當(dāng)購(gòu)買種子質(zhì)量超過(guò)9千克時(shí)，方案二所付金額少，應(yīng)選擇方案二.
6．解：(1)填寫表格如下：
收地

運(yùn)地CD總計(jì)
Ax噸(200-x)噸200噸
B(240-x)噸(60+x)噸300噸
總計(jì)240噸260噸500噸

由題意得yA=40x+45(200-x)=-5x+9000 (0≤x≤200),
yB=25(240-x)+32(60+x)=7x+7920 (0≤x≤200),
(2)若yA<yB， 則-5x+9000<7x+7920，x>90.
∴當(dāng)90<x≤200時(shí), yA<yB,即A村的運(yùn)費(fèi)較少.
(3)設(shè)兩村運(yùn)費(fèi)之和為y，則y=yA+yB，
∴y=-5x+9000+7x+7920，即y=2x+16920.
又∵0≤x≤200時(shí),y隨x的增大而增大.
∴當(dāng)x=0時(shí),y有最小值,y最小值=16920(元).
因此,由A村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)的香梨為0噸,調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)為200噸,B村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)為240噸,調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)60噸時(shí),兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小,最小費(fèi)用為16920元.

4.4確定一次函數(shù)的表達(dá)式
專題 利用數(shù)形求一次函數(shù)的表達(dá)式
1. 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．則直角邊BC所在直線的表達(dá)式為_(kāi)___________.

2. 如圖，已知一條直線經(jīng)過(guò)A（0，4）、點(diǎn)B（2，0），將這直線向左平移與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，使DB=DC．求直線CD的函數(shù)表達(dá)式．

3. 平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)P在直線y=-x+上，且AP=OP=4．求的值．

答案：
1.y= x+4 【解析】 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），則OA=2，又AC= ，OC AO，所以O(shè)C=4，即C（0,4）.在△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，OC⊥AB與O，則AB=10，則OB=8，
因而B(niǎo)的坐標(biāo)是（-8，0），直線BC的表達(dá)式是y= x+4．
2．解：設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，把A（0，4）、點(diǎn)B（2，0）代入得k=-2，b=4，故直線AB的表達(dá)式為y=-2x+4.
將這直線向左平移與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，使DB=DC時(shí)，因?yàn)槠揭坪蟮膱D形與原圖形平行，故平移以后的函數(shù)表達(dá)式為：y=-2x-4．
3．解：由已知AP=OP，點(diǎn)P在線段OA的垂直平分線P上,為垂足．
∵A(4,0),∴OA=AP=OP=4，
∴△AOP是等邊三角形．
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，O=2，OP=4．
在Rt△OP中，P= ，
∴P（2， ）．
∵點(diǎn)P在y=-x+上，
∴=2+ ．
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，得P′（2，? ）．
∵點(diǎn)P′在y=-x+上，
∴=2? ．
則的值為2+ 或2- ．

4.5一次函數(shù)圖象的應(yīng)用
專題 一次函數(shù)圖象的應(yīng)用
1. （2012湖北武漢）甲、乙兩人在直線跑道上同起
點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500米，
先到終點(diǎn)的人原地休息.已知甲先出發(fā)2秒.
在跑步過(guò)程中，甲、乙兩人的距離（米）
與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示，
給出 以下結(jié)論：
①a=8;②b=92;③c=123,其中正確的是（ ）
A．①②③ B. 僅有①②
C.僅有①③ D. 僅有②③
2. 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P在第一象限且在直線x+y=6上．
（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），寫出△OPA的面積S與x之間的關(guān)系式（其中P點(diǎn)橫坐標(biāo)在O與A點(diǎn)之間變化）；
（2）當(dāng)S=10時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）若△OPA是以O(shè)A為底邊的等腰三角形，你能
求出P 的坐標(biāo)嗎？若能，請(qǐng)求出坐標(biāo)；若不能，
請(qǐng)說(shuō)明理由．
3. 如圖1是甲、乙兩個(gè)圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中放有一圓柱形鐵塊（圓柱形鐵塊的下底面完全落在水槽底面上），現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度y（厘米）與注水時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖2所示.根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）圖2中折線ABC表示 槽中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系，線段DE表示 槽中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是 ；
（2）注水多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩個(gè)水槽中的水的深度相同？
（3）若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計(jì)），求乙槽中鐵塊的體積；
（4）若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米（壁厚不計(jì)），求甲槽底面積（直接寫結(jié)果）.

答案：
1.A 【解析】 ∵乙出發(fā)時(shí)甲行了2秒，相距8，∴甲的速度為8÷2＝4/s.∵100秒后乙開(kāi)始休息,∴乙的速度是500÷100＝5/ s,∵a秒后甲乙相遇，∴a＝8÷(5－4)＝8, 即①正確;100秒后乙到達(dá)終點(diǎn)，甲走了，4×(100＋2)＝408米∴b＝500－408＝92米 即②正確
甲走到終點(diǎn)一共需耗時(shí)500÷4＝125(秒), ∴c＝125－2＝123, 即③正確.故選A.
2.解：（1） ．
（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5）．
（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．
3.解：（1）乙 甲 鐵塊的高度
（2）設(shè)線段AB、DE的解析式分別為：y1=k1x+b，y2=k2x+b，
∵AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2，）和（4，14），DC經(jīng)過(guò)（0，12）和（6，0）,分別代入得b=12，k=-2，∴解析式為y=3x+2和y=?2x+12，
令3x+2=?2x+12，解得x=2，
∴當(dāng)注水2分鐘時(shí)兩個(gè)水槽中的水的深度相同．
（3）由圖象知：當(dāng)水面沒(méi)有沒(méi)過(guò)鐵塊時(shí)4分鐘水面上升了12c，即1分鐘上升3c，
當(dāng)水面沒(méi)過(guò)鐵塊時(shí)，2分鐘上升了5c，即1分鐘上升2.5c，
設(shè)鐵塊的底面積為xc ，則3×（36?x）=2.5×36，解得x=6，
∴鐵塊的體積為：6×14=84(c3) ．
（4）60c2．