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2018-2019學(xué)年湖北省武漢市漢陽(yáng)區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列“表情圖”中，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
2．（3分）下列四個(gè)圖形中，線(xiàn)段BE是△ABC的高的是（　　）
A．  B．  C．  D．
3．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段能組成三角形的是（　�。�
A．1，2，3 B．1， ，3 C．3，4，8 D．4，5，6
4．（3分）一定能確定△ABC≌△DEF的條件是（　�。�
A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
5．（3分）如圖，聰聰書(shū)上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就畫(huà)了一個(gè)與書(shū)本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫(huà)圖的依據(jù)是（　　）
 
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．（3分）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（　�。�
A．11 B．16 C．17 D．16或17
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AE∥BD交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．若∠E=35°，則∠BAC的度數(shù)為（　�。�
 
A．40° B．45° C．60° D．70°
8．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線(xiàn)交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若△ABC與△EBC的周長(zhǎng)分別是40，24，則AB為（　　）
 
A．8 B．12 C．16 D．20
 9．（3分）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，點(diǎn)P是腰AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使PC+PB最小，則點(diǎn)P應(yīng)該滿(mǎn)足（　�。�
 
A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90° D．∠APB=∠DPC
10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，2），B（2，0），若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．6 B．7 C．8 D．9
　
二、填空題（每題3分，共18分）
11．（3分）已知點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（2，1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　   �。�
12．（3分）如圖，將三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=20°，∠2=40°，則∠3的度數(shù)是　   �。�
 
13．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于點(diǎn)E，∠BAC=120°，AE=3，則BC的長(zhǎng)是　   �。�
 
14．（3分）如果一個(gè)等腰三角形一條腰上的高等于另一腰的一半，則該等腰三角形的底角的度數(shù)　   �。�
15．（3分）在△ABC中，AB=2cm，AC=4cm，則BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍是　   �。�
16．（3分）請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖中等邊三角形圖形的變換規(guī)律，寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)關(guān)于等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離的數(shù)學(xué)事實(shí)：　   　．
 
三、解答題（共8道小題，共72分）
17．（8分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是幾邊形？
18．（8分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線(xiàn)上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．
求證：AB∥DE．
 
19．（8分）如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線(xiàn)BE，CD相交于點(diǎn)F．
（1）∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度數(shù)；
（2）直接寫(xiě)出∠A與∠BFD的數(shù)量關(guān)系．
 
20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（?1，5），B（?1，0），C（?4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于直線(xiàn)m（直線(xiàn)m上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為?2）對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1；
（2）線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)P（? ， ），直接 寫(xiě)出點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)M（a，b），直接寫(xiě)出點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
 
21．（8分）如圖△ABC是等邊三角形．
（1）請(qǐng)按要求完成圖形，分別作∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為O；再分別作OB，OC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)D，E；
（2）在（1）的條件下，判斷△ODE的形狀，并證明你的結(jié)論．
 
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．
（1）教材中有這樣的結(jié)論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．請(qǐng)結(jié)合圖1，證明該結(jié)論；
（2）若將圖2分割成三個(gè)全等的三角形，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并簡(jiǎn)單描述輔助線(xiàn)的作法．
 
23．（10分）定義：如果兩條線(xiàn)段將一個(gè)三角形分成3個(gè)小等腰三角形，我們把這兩條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的三分線(xiàn)．
 
（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且AD=BD=BC，求∠A的大��；
（2）在圖1中過(guò)點(diǎn)C作一條線(xiàn)段CE，使BD，CE是△ABC的三等分線(xiàn)；在圖2中畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線(xiàn)，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；
（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線(xiàn)，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠C所有可能的值．
24．（12分）（1）問(wèn)題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC．
①如圖1，若α=90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得AD=CD，這 個(gè)性質(zhì)是　   �。�
②在圖2中，求證AD=CD；
 
（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD=BC．
　
 

2018-2019學(xué)年湖北省武漢市漢陽(yáng)區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列“表情圖”中，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　�。�
A．  B．  C．  D． 
【解答】解：A不屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形，故錯(cuò)誤；
B不屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形，故錯(cuò)誤；
C不屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形，故錯(cuò)誤；
D屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形，故正確；
故選：D．
　
2．（3分）下列四個(gè)圖形中，線(xiàn)段BE是△ABC的高的是（　�。�
A．  B． C． D．
【解答】解：線(xiàn)段BE是△ABC的高的圖是選項(xiàng)D．
故選D．
　
3．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段能組成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1， ，3 C．3，4，8 D．4，5，6
【解答】解：A、1+2=3，不能組成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、1+ ＜3，不能組成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、3+4＜8，不能組成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、4+5＞6，能組成三角形，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
　
4．（3分）一定能確定△ABC≌△DEF的條件是（　�。�
A．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
C．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
【解答】解：
A、根據(jù)ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)正確；
B、根據(jù)∠A=∠E，∠B=∠D，AB=DE才能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、根據(jù)AB=DE，BC=EF，∠B=∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、根據(jù)AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選A．
　
5．（3分）如圖，聰聰書(shū)上的三角形被 墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就畫(huà)了一個(gè)與書(shū)本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫(huà)圖的依據(jù)是（　�。�
 
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．
故選：C．
　
6．（3分）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（　　）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
【解答】解：①6是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為6、6、5，
能組成三角形，
周長(zhǎng)=6+6+5=17；
②6是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為6、5、5，
能組成三角形，
周長(zhǎng)=6+5+5=16．
綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為16或17．
故選D．
　
7．（3分）如圖，在△ABC中，A B=AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AE∥BD交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．若∠E=35°，則∠BAC的度數(shù)為（　�。�
 
A．40° B．45° C．60° D．70°
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°?70°×2=40°．
故選：A．
　
8．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線(xiàn)交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若△ABC與△EBC的周長(zhǎng)分別是40，24，則AB為（　　）
 
A．8 B．12 C．16 D．20
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，
∴AE=BE；
∵△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC，△EBC的周長(zhǎng)=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周長(zhǎng)?△EBC的周長(zhǎng)=AB，
∴AB=40?24=16．
故選：C．
　
9．（3分）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，點(diǎn)P是腰AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使PC+PB最小，則點(diǎn)P應(yīng)該滿(mǎn)足（　�。�
 
A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90° D．∠APB=∠DPC
【解答】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接BE交AD于P，連接CP．
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得∠DPC=∠EPD，
根據(jù)對(duì)頂角相等知∠APB=∠EPD，
所以∠APB=∠DPC．
故選D．
 
　
10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，2），B（2，0），若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：如圖所示：
 
當(dāng)AB=AC時(shí)，符合條件的點(diǎn)有3個(gè)；
當(dāng)BA=BC時(shí)，符合條件的點(diǎn)有3個(gè)；
當(dāng)點(diǎn)C在AB的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，符合條件的點(diǎn)有一個(gè)．
故符合條件的點(diǎn)C共有7個(gè)．
故選：B．
　
二、填空題（每題3分，共18分）
11．（3分）已知點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（2，1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　（2，?1）�。�
【解答】解：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（2，1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，?1），
故答案為：（2，?1）．
　
12．（3分）如圖，將三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=20°，∠2=40°，則∠3的度數(shù)是　20°�。�
 
【解答】解：由題意得：∠4=∠2=40°；
由三角形外角的性質(zhì)得：∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4?∠1=40°?20°=20°，
故答案為：20°．
 
　
13．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于點(diǎn)E，∠BAC=120°，AE=3，則BC的長(zhǎng)是　9�。�
 
【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC交BC于F，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，BC=2BF，
在Rt△BAE中，
AB=AE•cot30°=3× =3 ，
在Rt△AF B中，
BF=AB•cos30°=3 × = ，
∴BC=2BF=2× =9，
故答案為：9．
　
14．（3分）如果一個(gè)等腰三角形一條腰上的高等于另一腰的一半，則該等腰三角形的底角的度數(shù)　15°或75°　．
【解答】解：解：（1）當(dāng)?shù)妊�三角形是銳角三角形時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)部，如圖，
 
BD為等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD= AB，
根據(jù)直角三角形中30°角的對(duì)邊等于斜邊的一半的逆用，可知頂角為30°，此時(shí)底角為75°；

（2）當(dāng)?shù)妊�三角形是鈍角三角形時(shí)，腰上的高在三角形外部，如圖，
 
BD為等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD= AB，
根據(jù)直角三角形中30°角的對(duì)邊等于斜邊的一半的逆用，可知頂角的鄰補(bǔ)角為30°，此時(shí)頂角是150°，
底角為15°．
故答案為：15°或75°．
　
15．（3分）在△ABC中，AB=2cm，AC=4cm，則BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍是　1cm＜AD＜3cm�。�
【解答】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，
∵AD是△ABC的中線(xiàn)，
∴BD=CD，
在△ADC與△EDB中，
∵ ，
∴△ADC≌ △EDB，
∴EB=AC，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：4cm?2cm＜AE＜4cm+2cm，
∴1cm＜AD＜3cm，
故答案為：1cm＜AD＜3cm．
 
　
16．（3分）請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖中等邊三角形圖形的變換規(guī)律，寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)關(guān)于等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離的數(shù)學(xué)事實(shí)：　等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于該等邊三角形的高�。�
【解答】解：由圖可知，等邊三角形里任意一點(diǎn)到三邊的距離和等于它的高．
　
三、解答題（共8道小題，共72分）
17．（8分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是幾邊形？
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
∴（n?2）•180°=2×360°，
解得：n=6．
故這個(gè)多邊形是六邊形．
　
18．（8分）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線(xiàn)上，BE=CF，AB= DE，AC=DF．
求證：AB∥DE．
 
【解答】證明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
 ，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
 
　
19．（8分）如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線(xiàn)BE，CD相交于點(diǎn)F．
（1）∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度數(shù)；
（2）直接寫(xiě)出∠A與∠BFD的數(shù)量關(guān)系．
 
【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=180°?40 °?60°=80°，
∵∠B、∠C的平分線(xiàn)BE，CD相交于點(diǎn)F，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB= ∠ABC+ ∠ACB=20°+40°=60°．

（2）∵∠B、∠C的平分線(xiàn)BE，CD相交于點(diǎn)F，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）= （180°?∠A）=90°? ∠A．
 
　
20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（?1，5），B（?1，0），C（?4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于直線(xiàn)m（直線(xiàn)m上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為?2）對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1；
（2）線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)P（? ， ），直接寫(xiě)出點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)M（a，b），直接寫(xiě)出點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
 
【解答】解：（1）如圖所示，
（2）線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)P（? ， ），點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（? ， ），
（3）線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)M（a，b），點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（?4?a，b）．
 
　
21．（8分）如圖△ABC是等邊三角形．
（1）請(qǐng)按要求完成圖形，分別作∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)，交點(diǎn)為O；再分別作OB，OC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)D，E；
（2）在（1）的條件下，判斷△ODE的形狀，并證明你的結(jié)論．
 
【解答】解：（1）如圖，
 
（2）△ODE為等邊三角形．
理由如下：
∵△ABC是等邊三角形．
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠AC B，
∴∠OBC= ∠ABC=30°，∠OCB= ∠ACB=30°，
∵OB，OC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)D，E，
∴DB=DO，EC=EO，
∴∠ODB=∠DBO=30°，∠EOC=∠ECO=30°，
∴∠ODE=∠ODB+∠DBO=60°，∠OED=∠EOC+∠ECO=60°，
∴△ODE為等邊三角形．
　
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．
（1）教材中有這樣的結(jié)論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．請(qǐng)結(jié)合圖1，證明該結(jié)論；
（2）若將圖2分割成三個(gè)全等的三角形，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并簡(jiǎn)單描述輔助線(xiàn)的作法．
 
【解答】解：（1）證法一：如答 圖所示，延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD，易證AD=AB，∠BAD=60°．
 
∴△ABD為等邊三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD= AB，即BC= AB．

證法二：如答圖所示，取AB的中點(diǎn)D，
連接DC，有CD= AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．
∴△DBC為等邊三角形，
∴BC=DB= AB，即BC= AB．

證法三：如答圖所示，在AB上取一點(diǎn)D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC為等邊三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°?∠DCB=90°?60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA= AB，
∴BC= AB．

證法四：如圖所示，作△ABC的外接圓⊙D，∠C=90°，AB為⊙O的直徑，
連DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30 °=60°，
∴△DBC為等邊三角形，
∴BC=DB=DA= AB，即BC= AB．

（2）如圖2，作∠ACB平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，作DE⊥AB于點(diǎn)E，
則△ADE≌△BDE≌△BDC
 
由作圖知∠DBC=∠DBE=∠A=30°，∠AED=∠BED=∠C=90°，
∴AD=BD，
∴AE=BE= AB，
又∵ BC= AB，
∴AE=BE=BC，
在△ADE、△BDE、△BDC中，
∵ ，
∴△ADE≌△BDE≌△BDC．
　
23．（10分）定義：如果兩條線(xiàn)段將一個(gè)三角形分成3個(gè)小等腰三角形，我們把這兩條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的三分線(xiàn)．
 
（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且AD=BD=BC，求∠A的大��；
（2）在圖1中過(guò)點(diǎn)C作一條線(xiàn)段CE，使BD，CE是△ABC的三等分線(xiàn)；在圖2中畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線(xiàn)，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；
（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線(xiàn)，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠C所有可能的值．
【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
設(shè)∠A=∠ABD=x，則∠BDC=2x，∠C= ，
可得2x= ，
解得：x=36°，
則∠A=36°；

（2）如圖所示：
 

（3）如圖所示：
 
①當(dāng)AD=AE時(shí)，
∵2x+x=30°+30°，
∴x=20°；
②當(dāng)AD=DE時(shí)，
∵30°+30°+2x+x=180°，
∴x=40°；
綜上所述，∠C為20°或40°的角．
　
24．（12分）（1）問(wèn)題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC．
①如圖1，若α=90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得AD=CD，這個(gè)性質(zhì)是　角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等�。�
②在圖2中，求證AD=CD；
 
（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD=BC．
【解答】解：（1）①根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可知AD=CD．
所以這個(gè)性質(zhì)是角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．
故答案為角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．
②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．
 
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE=DF，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠C，∵∠E=∠DFC=90°，
∴△DEA≌△DFC，
∴DA=DC．

（2）如圖3中，在BC時(shí)截取BK=BD，BT=BA，連接DK．
 
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK= ∠ABC=20°，
∵BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=80°，
∵∠BKD=∠C+∠KDC，
∴∠KDC=∠C=40°，
∴DK=CK，
∵BD=BD，BA=BT，∠DBA=∠DBT，
∴△DBA≌△DBT，
∴AD=DT，∠A=∠BTD=100°，
∴∠DTK=∠DKT=80°，
∴DT=DK=CK，
∴BD+AD=BK+CK=BC．