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一. 本周教學(xué)內(nèi)容：追及與相遇

二. 要點(diǎn)整合：

追及和相遇問題主要涉及在同一直線上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，所應(yīng)用的規(guī)律是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。

追及、相遇問題常常涉及到臨界問題，分析臨界狀態(tài)，找出臨界條件是解決這類問題的關(guān)鍵。速度相等是物體恰能追上或恰不相碰、或間距最大或最小的臨界條件。

在兩物體沿同一直線上的追及、相遇或避免碰撞問題中關(guān)鍵的條件是：兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置。因此應(yīng)分別對(duì)兩物體研究，列出位移方程，然后利用時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系、位移關(guān)系解出。

解答追及、相遇問題時(shí)要特別注意明確兩物體的位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系，這些關(guān)系是我們根據(jù)相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列方程的依據(jù)。

1. 追及

追和被追的兩者的速度相等常是能追上、追不上、二者距離有極值的臨界條件。

如勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追從不同地點(diǎn)出發(fā)同向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，若二者速度相等了，還沒有追上，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)二者間有最小距離。若二者相遇時(shí)（追上了），追者速度等于被追者的速度，則恰能追上，也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時(shí)追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機(jī)會(huì)，其間速度相等時(shí)二者的距離有一個(gè)較大值。

再如初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追從同一地點(diǎn)出發(fā)同向勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，當(dāng)二者速度相等時(shí)二者有最大距離，位移相等即追上。

“追上”的主要條件是兩個(gè)物體在追趕過程中處在同一位置，常見的情形有三種：一是初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體甲追趕同方向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體乙時(shí)，一定能追上，在追上之前兩者有最大距離的條件是兩物體速度相等，即v甲=v乙；二是勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追趕同方向做勻加速運(yùn)動(dòng)的物體乙時(shí)，存在一個(gè)恰好追上或恰好追不上的臨界條件：兩物體速度相等，即v甲＞v乙，此臨界條件給出了一個(gè)判斷此種追趕情形能否追上的，即可通過比較兩物體處在同一位置時(shí)的速度大小來分析，具體是：假定在追趕過程中兩者能處在同一位置，比較此時(shí)的速度大小，若v甲＞v乙，則能追上去，若v甲＜v乙，則追不上，如果始終追不上，當(dāng)兩物體速度相等時(shí)，兩物體的間距最��；三是勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追趕同方向的勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，情形跟第二種相類似。

兩物體恰能“相遇”的臨界條件：兩物體處在同一位置時(shí)，兩物體的速度恰好相同。

2. 相遇

同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追及即相遇，分析同1。

相向運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移的絕對(duì)值的和等于開始時(shí)兩物體間的距離時(shí)即相遇。

三. 解題方法指導(dǎo)：

1. 解“追及”“相遇”問題的思路：

解決“追及”和“相遇”問題大致分為兩種方法，即方法和方法求解過程中可以有不同的思路，例如考慮圖象法等等。

解題的基本思路是：① 根據(jù)對(duì)兩物體運(yùn)動(dòng)過程的分析，畫出物體的運(yùn)動(dòng)示意圖；② 根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，分別列出兩個(gè)物體的位移方程。注意要將兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系反映在方程中。③ 由運(yùn)動(dòng)示意圖找出兩物體位移間關(guān)聯(lián)方程。④ 聯(lián)立方程求解。

運(yùn)動(dòng)物體的追趕、相遇問題，一般解法較多：解析法、圖象法、極值法等。應(yīng)適當(dāng)?shù)刈鲂┮活}多解的練習(xí)，以開啟思路，培養(yǎng)發(fā)散的。但平時(shí)訓(xùn)練仍應(yīng)以物理意義突出的解析法為主。通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)后，總結(jié)一下追趕、相遇、避碰問題的特點(diǎn)、分析方法，特別是對(duì)其中所涉及的“相距最遠(yuǎn)”、“相距最近”、 “恰好不相碰”等臨界問題，應(yīng)在思考的基礎(chǔ)上總結(jié)出臨界狀態(tài)的特點(diǎn)，找出臨界條件。

2. 分析“追及”“相遇”問題應(yīng)注意：

① 分析“追及”“相遇”問題時(shí)，一定要抓住一個(gè)條件，兩個(gè)關(guān)系：一個(gè)條件是兩物體的速度滿足的臨界條件，如“兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好追不上等”。兩個(gè)關(guān)系是時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。其中通過畫草圖找到兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口，也是解題常用方法。因此，在中一定要養(yǎng)成畫草圖分析問題的良好習(xí)慣，對(duì)幫助我們理解題意，啟迪思維大有裨益。

養(yǎng)成根據(jù)題意畫出物體運(yùn)動(dòng)示意圖的習(xí)慣。特別對(duì)較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，畫出草圖可使運(yùn)動(dòng)過程直觀，物理圖景清晰，便于分析研究。

② 分析研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，搞清整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程按運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的轉(zhuǎn)換可分為哪幾個(gè)運(yùn)動(dòng)階段，各個(gè)階段遵循什么規(guī)律，各個(gè)階段間存在什么聯(lián)系。

特別是，若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，一定要注意追上前該物體是否停止運(yùn)動(dòng)。

③ 仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱合條件，如“剛好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，由此找出滿足相應(yīng)的臨界條件。

分析：司機(jī)使火車作勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)后面的火車與前方火車時(shí)的速度相等時(shí)，兩車再也不能接近了，也就是后面的火車與前面火車的速度相等時(shí)，后面火車的位移與前面火車的位移之差要小于s時(shí)，兩車才不致相撞，本題解法中有四種。

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解法三：作出兩車運(yùn)動(dòng)的速度?D時(shí)間圖像如圖所示，由圖像可知：在兩圖像相交前與時(shí)間軸所圍面積之差（即圖中陰影部分）小于s時(shí)，兩車不會(huì)相撞。

，要使兩車不相撞，即

解析：由于兩車同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，故有v甲=v0 a2t，v乙=a1t

① 當(dāng)a1<a2時(shí)，a1t<a2t，可得兩車在運(yùn)動(dòng)過程中始終有v甲> v乙，由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時(shí)間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次；② 當(dāng)a1=a2時(shí)，alt=a2t，可得v甲>v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次：③ 當(dāng)a1>a2時(shí)，a1t>a2t，v甲和v乙的大小關(guān)系會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加而發(fā)生變化，剛開始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以，v甲>v乙，隨著時(shí)間的推移，a1t和a2t相差越來越大；當(dāng)alt?Da2t=v0時(shí)，v甲=v乙，接下來a1t?Da2t>v0，則有v甲<v乙，若在v甲=v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲<v乙，甲車就沒有機(jī)會(huì)超過乙車，即兩車不相遇；若在v甲=v乙時(shí)，兩車剛好相遇，隨后v甲=v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲=v乙前甲車己超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于v甲<v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時(shí)，再相遇一次，別兩車能相遇兩次。

①

① 當(dāng)a1<a2 時(shí)，①式t只有一個(gè)正解，別相遇一次。

② 當(dāng)a1=a2 時(shí)，x甲?Dx乙= v0t十 a2t2?D a1t2=v0t=x，

所以t= <2（a1?Da2）x，①式無解，即不相遇，

若 ＞2（a1?Da2）x，①式t有兩個(gè)正解，即相遇兩次。

解法二：利用v?Dt圖象求解，

解： ，小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 個(gè)球在 后拋出，則在某一時(shí)刻 這兩個(gè)球的位移分別為<4" style= > （1）

<5" style='width:138pt; > （2）

兩小球在空中相遇的條件是其位移相等，即

其中 表示第一個(gè)小球和 后拋出的小球在空中相遇而過的那個(gè)時(shí)刻。

當(dāng) ，這是與第二個(gè)小球相遇而過的時(shí)刻；

當(dāng) ，這是與第三個(gè)小球相遇而過的時(shí)刻；

當(dāng) 時(shí)， ，這是與第五個(gè)小球相遇而過的時(shí)刻；

當(dāng) ， ， ， ， 。當(dāng)然第一問同樣可以迎刀而解。

【模擬】

1. 甲、乙兩物體由同一位置出發(fā)沿同一直線運(yùn)動(dòng)，其速度圖象由圖所示，下列說法正確的是（ ）

A. 甲做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙做勻變速直線運(yùn)動(dòng)

B. 兩物體兩次相遇的時(shí)刻分別為2 s末和6 s末

　　C. 乙在前4 s內(nèi)的平均速度等于甲的速度

D. 2 s后甲、乙兩物體的速度方向相反

a啟動(dòng)時(shí)，有一輛勻速前進(jìn)的自行車以速度

3. 甲乙丙三輛汽車以相同的速度同時(shí)經(jīng)過某一個(gè)路標(biāo)，從此開始甲車一直勻速運(yùn)動(dòng)，乙車先加速后減速，丙車先減速后加速，它們經(jīng)過下一個(gè)路標(biāo)時(shí)速度又相等，則（ ）

　　A. 甲車先通過下一個(gè)路標(biāo) B. 乙車先通過下一個(gè)路標(biāo)

　　C. 丙車先通過下一個(gè)路標(biāo) D. 條件不足，無法判斷

4. 兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時(shí)，后車以前車剎車的加速度開始剎車。已知前車在剎車過程中所行駛的距離為s，若要保證兩輛車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離至少應(yīng)為（ ）

A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s

5. 汽車A在紅綠燈前停住，綠燈亮起時(shí)起動(dòng)，以0.4 m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過30 s后以該時(shí)刻的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng).設(shè)在綠燈亮的同時(shí)，汽車B以8 m/s的速度從A車旁邊駛過，且一直以相同的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向與A車相同，則從綠燈亮?xí)r開始（ ）

A. A車在加速過程中與B車相遇?ゼ/p>

B. A、B相遇時(shí)速度相同?ゼ/p>

C. 相遇時(shí)A車做勻速運(yùn)動(dòng)?ゼ/p>

D. 兩車不可能再次相遇?ゼ/p>

6. 同一直線上的A、B兩質(zhì)點(diǎn)，相距s，它們向同一方向沿直線運(yùn)動(dòng)（相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng)），A做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)，B從此時(shí)刻起做加速度為a、初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。若A在B前，兩者可相遇______次，若B在A前，兩者最多可相遇______次。

7. 從相距30 km的甲、乙兩站每隔15 min同時(shí)以30 km/h的速率向?qū)Ψ介_出一輛汽車。若首班車為早晨5時(shí)發(fā)車，則6時(shí)從甲站開出的汽車在途中會(huì)遇到 輛從乙站開出的汽車。

8. 一礦井深125m，在井口每隔一段時(shí)間落下一個(gè)小球，當(dāng)?shù)?1個(gè)小球剛從井口開始下落時(shí)，第1個(gè)小球恰好到達(dá)井底，則：

（1）相鄰兩個(gè)小球下落的時(shí)間間隔是 s；

（2）這時(shí)第3個(gè)小球與第5個(gè)小球相距 （g取10 m／s2）

9. 如圖，某時(shí)刻A、B兩物體相距7m，A以4 m／s的速度向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)B的速度為10 m／s，方向向右，在摩擦力作用下以2 m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)。從該時(shí)刻經(jīng)多長時(shí)間A追上B？

10. 一輛巡邏車最快能在10 s內(nèi)由靜止加速到最大速度50 m／s，并能保持這個(gè)速度勻速行駛，問該巡邏車在平直的高速公路上由靜止追上前方2 000m處正以35 m／s的速度勻速行駛的汽車，至少需要多長時(shí)間？

11. A球自距地面高h(yuǎn)處開始自由下落，同時(shí)B球以初速度v0正對(duì)A球豎直上拋，空氣阻力不計(jì)。問：

（1）要使兩球在B球上升過程中相遇，則v0應(yīng)滿足什么條件？

（2）要使兩球在B球下降過程中相遇，則v0應(yīng)滿足什么條件？

12. 已知自行車速度為6m/s作直線運(yùn)動(dòng)，汽車從同時(shí)同地以初速10m/s，加速度a=－0.5m/s2直線運(yùn)行，試求自行車追上汽車前，兩車的最大距離。

13. 摩托車以速度v1沿平直公路行駛，突然駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方s處，有一輛汽車正以v2<v1的速度開始減速，加速度大小為α2。為了避免發(fā)生碰撞，摩托車也同時(shí)減速。求其加速度至少需要多少？

14. 在某市區(qū)內(nèi)，一輛汽車在平直的公路上以速度v，警方派一車胎磨損情況與肇事汽車相當(dāng)?shù)能囈苑ǘㄗ罡咚俣葀A是多大?

（2）游客橫過馬路的速度是多大?

15. 如圖所示，長L=75cm的靜止直筒中有一不計(jì)大小的小球，筒與球的總質(zhì)量為4kg現(xiàn)對(duì)筒施加一豎直向下，大小為21N的恒力，使筒豎直向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t=0.5s時(shí)間，小球恰好躍出筒口。求：小球的質(zhì)量。（g=10m/s2）

17. 雜技演員把三只球依次豎直向上拋出，形成連續(xù)的循環(huán)，在循環(huán)中，他每拋出一球后，再過一段與剛拋出的球在手中停留時(shí)間相等的時(shí)間，又接到下一個(gè)球，這樣，在總的循環(huán)過程中，便形成有時(shí)空中有3個(gè)球，有時(shí)空中有兩個(gè)球，而演員手中則有一半時(shí)間內(nèi)有球，有一半時(shí)間內(nèi)沒有球。設(shè)每個(gè)球上升的高度為1.25m，取 ，求每個(gè)球每次在手中停留的時(shí)間是多少？

18. 某升降機(jī)以1.6m/s的速度勻速上升，機(jī)內(nèi)一人自離升降機(jī)地板6.5m高處將一小球釋放，球與底板間的碰撞無任何損失，則第一次反彈的最高點(diǎn)比釋放點(diǎn)高（或低）了多少？

19. 將兩小石塊A、B同時(shí)豎直上拋，A上升的最大高度比B的高出35m，返回地面的時(shí)間比B遲2s。問：

（1）A、B的初速度分別為多少？

（2）A、B分別達(dá)到的高度最大值各為多少？（ ）

20. 甲、乙、丙三輛車行駛在平直公路上，車速分別為6m/s、8m/s、9m/s。當(dāng)甲、乙、丙三車依次相距5m時(shí)，乙駕駛員發(fā)現(xiàn)甲車開始以1m/s2的加速度做減速運(yùn)動(dòng)，于是乙也立即做減速運(yùn)動(dòng)，丙車亦同樣處理。如圖所示。直到三車都停下來時(shí)均未發(fā)生撞車事故。求丙車減速運(yùn)動(dòng)的加速度至少應(yīng)為多大？

【試題答案

1. B 2. C 3. B 4. B 5. C 6. 1；2 7. 7輛 8. 0.5；35 m

9. 8 s 10. 150 s

11.（1）v0＞ （2）

解析：兩球相遇時(shí)位移之和等于h。即： gt2 （v0t－ gt2）=h

所以：t=

而B球上升的時(shí)間：t1= ，B球在空中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t2=（1）欲使兩球在B球上升過程中相遇，則有t＜t1，即 ＜ ，所以v0＞

（2）欲使兩球在B球下降過程中相遇，則有：t1＜t＜t2

即 ＜ ＜ ＜v0＜

12. 解析：畫出兩車v?Dt圖象如圖所示，可知，在自行車追上汽車前，二者速度相同時(shí)，相距最大，為陰影三角形面積。

且由圖可知，t=16s時(shí)，自行車追上汽車。

13. 解：（1）如圖（甲）所示，其相對(duì)位移為

即

(甲)

。

，所以 ，

先停下，摩托車經(jīng)時(shí)間 后停下，這種情況下兩車不發(fā)生碰撞的條件為 。有

14.（1）2l m／s （2）1.53 m／s

15. 解：筒受到豎直向下的力作用后做豎直向下的勻加速運(yùn)動(dòng)，且加速度大于重力加速度；而小球則是在筒內(nèi)做自由落體運(yùn)動(dòng)，小球躍出筒口時(shí)，筒的位移比小球的位移多一個(gè)筒的長度。

又因?yàn)橥彩艿街亓Γ∕－m）g和向下作用力F，據(jù)牛頓第二定律

16. 解：選升降機(jī)為參考系，螺帽受重力作用，相對(duì)加速度大小為g a，豎直向下，相對(duì)運(yùn)動(dòng)可視為以g a為加速度的自由落體，有 為所求。

17. 解：設(shè)一個(gè)球每次在手中停留的時(shí)間為 ，則手中連續(xù)拋出兩球之間的時(shí)間間隔為 。在這段時(shí)間內(nèi)，此球有 的時(shí)間停留在手中，則有代入數(shù)值得：∴ 球一次豎直上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 ，則它每次在手中停留時(shí)間為0.2S。

18. 解：設(shè)從放球到球與底板相碰需要時(shí)間t，放球時(shí)，球與底板的距離為h，升降機(jī)速度為 ，在此期間球下降距離

代入數(shù)據(jù)得 （負(fù)根舍去）

這時(shí)球相對(duì)于地面的速度為

由題意知，球與底板碰撞前后速度大小不變，即球被彈回時(shí)，球相對(duì)于底板的速度應(yīng)為11.4m/s。由于升降機(jī)質(zhì)量較小球大得多，所以碰撞對(duì)升降機(jī)速度不影響，仍為 向上，所以碰撞后小球相對(duì)于地面向上的速度

由此可知球第一次上升的高度為

因而第一次回跳的最高點(diǎn)比釋放點(diǎn)高出的距離為

19. 解析：設(shè)A、B初速度分別為 、 ，二者上升的最大高度分別為 、 ，A、B上升到最高點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間依次為 得 ，

由題意知

所以

20. 解：先研究兩車行駛中的一種特殊臨界狀態(tài)，兩車同時(shí)停下且剛好接觸在一起。則

，要使其同時(shí)停下則必然相碰。即是說 仍要增大， 按DC線所示規(guī)律變化，在D處時(shí)二者相距最近，如圖所示。由題意知，

，則 還可再小些，二者不同時(shí)停下，停止時(shí)相對(duì)位移為 ，如圖中有 三式聯(lián)立得 （2）

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