2012版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：第八章 平面解析幾何
第二節(jié) 直線與圓
【高考目標(biāo)導(dǎo)航】
一、圓的方程
（一）考綱點(diǎn)擊
1、掌握確定圓的幾何要素，掌握確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；
2、初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。
（二）熱點(diǎn)提示
1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程以及圓的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)；
2、多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目。
二、直線、圓的位置關(guān)系
（一）考綱點(diǎn)擊
1、能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；
2、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；
3、初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。
（二）熱點(diǎn)提示
1、直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系特別是直線與圓相切一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查：
（1）方程中含有參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系的判斷；
（2）利用相切或相交的條件確定參數(shù)的值或取值范圍；
（3）利用相切或相交求圓的切線或弦長(zhǎng)。
2、本部分在高考試題中多為選擇、填空題，有時(shí)在解答題中考查直線與圓位置關(guān)系的綜合問(wèn)題。
【考綱知識(shí)梳理】
一、圓的方程
1．圓的定義
（1）在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。
（2）確定一個(gè)圓的要素是圓心和半徑。
2．圓的方程
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程
方程
圓心坐標(biāo)（a,b）
半徑r
注：方程 表示圓的充要條件是
3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知圓的方程為 ，點(diǎn) 。則：
（1）點(diǎn)在圓上： ；
（2）點(diǎn)在圓外： ；
（3）點(diǎn)在圓內(nèi)： 。
4．確定圓的方程方法和步驟
確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：
（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；
（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D、E、F的方程組；
（3）解出a,b,r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。
注：用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)，如何根據(jù)已知條件選擇圓的方程？（當(dāng)條件中給出的是圓上幾點(diǎn)坐標(biāo)，較適合用一般方程，通過(guò)解三元方程組求相應(yīng)系數(shù)；當(dāng)條件中給出的是圓心坐標(biāo)或圓心在某條直線上、圓的切線方程、圓弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)方程。對(duì)于有些題，設(shè)哪種形式都可以，這就要求根據(jù)條件具體問(wèn)題具體分析。）
二、直線、圓的位置關(guān)系
1．直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系相離相切相交
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)
幾何特征（圓心到直線的距離 ，半徑 ）
代數(shù)特征（直線與圓的方程組成的方程組）無(wú)實(shí)數(shù)解有兩組相同實(shí)數(shù)解有兩組不同實(shí)數(shù)解
注：在求過(guò)一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓臺(tái)上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條，謹(jǐn)防漏解。
2．圓與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)01210
幾何特征（圓心距 ，兩圓半徑 ， ， ）
代數(shù)特征（兩個(gè)圓的方程組成的方程組）無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解
【要點(diǎn)名師透析】
一、圓的方程
（一）圓的方程的求法
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1．確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法。如果選擇標(biāo)準(zhǔn)方程，即列出關(guān)于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心（a,b）和半徑r.
2．如果已知條件中圓心的位置不能確定，則選擇圓的一般方程。圓的一般方程也含有三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，因此，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，才能確定圓的一般方程，其方法仍采用待定系數(shù)法。設(shè)所求圓的方程為： 由三個(gè)條件得到關(guān)于D、E、F的一個(gè)三元一次方程組，解方程組確定D、E、F的值。
3．以 為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程為
注：在求圓的方程時(shí)，常用到圓的以下必修性質(zhì)：
（1）圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；
（2）圓心在任一弦的中垂直上；
（3）兩圓心或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線。
※例題解析※
〖例〗求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為 的圓的方程。
思路解析：由條件可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，也可設(shè)圓的一般方程，但計(jì)算較繁瑣。
解答：（方法一） 設(shè)所求的圓的方程是 ，
則圓心(a,b)到直線x-y=0的距離為 ，
∴ ,
即 ………………………………………………①
由于所求的圓與x軸相切，∴ ………………………………②
又因?yàn)樗髨A心在直線3x-y=0上，
∴3a-b=0………………………………………………………………③
聯(lián)立①②③，解得a=1,b=3, =9或a=-1,b=-3, =9.
故所求的圓的方程是：
（方法二）設(shè)所求的圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓心為 ，半徑為 令y=0，得x2+ Dx+ F =0，由圓與x軸相切，得?=0，即D2-4F……④
又圓心 到直線x-y=0的距離為 ,
由已知，得 ,
即 = …………………………………………⑤
又圓心 在直線3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥
聯(lián)立④⑤⑥，解得
D=-1，E=-6，F(xiàn)=1或D=2，E=6，F(xiàn)=1。
故所求圓的方程是 =0或
（二）與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
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1．求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題多采用幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化。如（1）形如m= 的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；（2）形如t=ax+by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距的最值問(wèn)題；（3）形如m= 的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問(wèn)題。
2．特別要記住下面兩個(gè)代數(shù)式的幾何意義：
表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)（0，0）連線的直線斜率， 表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)的距離。
※例題解析※
〖例〗已知實(shí)數(shù) 、 滿足方程 。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 - 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值。
思路解析：化 ， 滿足的關(guān)系為 理解 ， - ， 的幾何意義 根據(jù)幾何意義分別求之。
解答：（1）原方程可化為 ，表示以（2，0）為圓心， 為半徑的圓， 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè) = ，即 。當(dāng)直線 與圓相切時(shí)，斜率 取最大值或最小值，此時(shí) ，解得 =± 。
所以 的最大值為 ，最小值為?
（2） - 可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí) ，解得 。所以 - 的最大值為 ，最小值為 。
（3） 表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值。又圓心到原點(diǎn)的距離為 ，所以 的最大值是 ， 的最小值是 。
（三）與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
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1．解決軌跡問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）求方程前必須建立平面直角坐標(biāo)系（若題目中有點(diǎn)的坐標(biāo)，就無(wú)需建系），否則曲線就不可轉(zhuǎn)化為方程。
（2）一般地，設(shè)點(diǎn)時(shí)，將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為（x,y），其他與此相關(guān)的點(diǎn)設(shè)為 等。
（3）求軌跡與求軌跡方程是不同的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形。
2．求軌跡方程的一般步驟：
（1）建系：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）；
（2）列出幾何等式；
（3）用坐標(biāo)表示得到方程；
（4）化簡(jiǎn)方程；
（5）除去不合題意的點(diǎn)，作答。
※例題解析※
〖例〗設(shè)定點(diǎn)M（-3，4），動(dòng)點(diǎn)N在圓 上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡。
思路解析：先設(shè)出P點(diǎn)、N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，用P點(diǎn)坐標(biāo)表示N點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程可求。
解答：如圖所示，
設(shè)P（x,y），N ，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為 。因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故 。N（x+3,y-4）在圓上，故 。因此所求軌跡為圓： ，擔(dān)應(yīng)除去兩點(diǎn)： （點(diǎn)P在OM所在的直線上時(shí)的情況）。
（四）有關(guān)圓的實(shí)際應(yīng)用
〖例〗有一種大型商品，A、B兩地都有出售，有價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：A地每公里的運(yùn)費(fèi)是B地每公里運(yùn)費(fèi)的3倍。已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購(gòu)買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低。求P地居民選擇A地或B地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)物地點(diǎn)？
思路解析：根據(jù)條件，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而解決相關(guān)問(wèn)題。
解答：如圖，
以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，∵AB?=10，∴A（-5，0），B（5，0）。設(shè)P（x,y）,P到A、B兩地購(gòu)物的運(yùn)費(fèi)分別是3a、a（元/公里）。當(dāng)由P地到A、B兩地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，有：價(jià)格+A地運(yùn)費(fèi)=價(jià)格+B地運(yùn)費(fèi)，
∴3a? =a? .
化簡(jiǎn)整理，得
（1）當(dāng)P點(diǎn)在以（- ，0）為圓心、 為半徑的圓上時(shí)，居民到A地或B地購(gòu)物總費(fèi)用相等。
（2）當(dāng)P點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)，
當(dāng)P點(diǎn)在上述圓外時(shí)，
注：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)基本模型的方法將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決。
二、直線、圓的位置關(guān)系
（一）直線和圓的位置關(guān)系
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直線和圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法
（1）第一種方法是方程的觀點(diǎn)，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立組成方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用判別式?來(lái)討論位置關(guān)系，即
?>0 直線與圓相交;
?=0 直線與圓相切;
?<0 直線與圓相離.
（2）第二種方法是幾何的觀點(diǎn)，即將圓心到直線的距離d與半徑r比較來(lái)判斷，即
d
d=r 直線與圓相離。
※例題解析※
〖例〗已知圓
（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線上；
（2）與 平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；
（3）求證：任何一條平行于 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等。
思路解析：用配方法將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，消去m就得關(guān)于圓心的坐標(biāo)間的關(guān)系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離d與圓半徑的大小即可；證明弦長(zhǎng)相等時(shí)，可用幾何法計(jì)算弦長(zhǎng)。
解答：（1）配方得： 設(shè)圓心為(x,y)，則 ，消去m得 則圓心恒在直線 。
（2）設(shè)與 平行的直線是： ，
（3）對(duì)于任一條平行于 且與圓相交的直線 ： ，由于圓心到直線 的距離
（與m無(wú)關(guān)）。弦長(zhǎng)=
∴任何一條平行于 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等。
（二）圓與圓的位置關(guān)系
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1．判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法；
2．若兩圓相交，則兩圓公式弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 項(xiàng)即可得到；
3．兩圓公切線的條數(shù)（如下圖）
（1）兩圓內(nèi)含時(shí)，公切線條數(shù)為0；
（2）兩圓內(nèi)切時(shí)，公切線條數(shù)為1；
（3）兩圓相交時(shí)，公切線條數(shù)為2；
（4）兩圓外切時(shí)，公切線條數(shù)為3；
（5）兩圓相離時(shí)，公切線條數(shù)為4。
因此求兩圓的公切線條數(shù)主要是判斷兩圓的位置關(guān)系，反過(guò)來(lái)知道兩圓公切線的條數(shù)，也可以判斷出兩圓的位置關(guān)系。
※例題解析※
〖例〗求經(jīng)過(guò)兩圓 和 的交點(diǎn)，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程
思路解析：根據(jù)已知，可通過(guò)解方程組 得圓上兩點(diǎn)，由圓心在直線x－y－4=0上，三個(gè)獨(dú)立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為 ，再由圓心在直線x－y－4=0上，定出參數(shù)λ，得圓方程
解答：因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過(guò)兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)，
所以設(shè)所求圓的方程為
展開、配方、整理，得 + = +
圓心為 ，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圓的方程為
注：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過(guò)兩圓C1、C2公共點(diǎn)的圓
（三）圓的切線及弦長(zhǎng)問(wèn)題
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1．求圓的切線的方法
（1）求圓的切線方程一般有兩種方法：
①代數(shù)法：設(shè)切線方程為 與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式?=0進(jìn)而求得k。
②幾何法：設(shè)切線方程為 利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d=r，進(jìn)而求出k。
兩種方法，一般來(lái)說(shuō)幾何法較為簡(jiǎn)潔，可作為首選。
注：在利用點(diǎn)斜式求切線方程時(shí)，不要漏掉垂直于x軸的切線，即斜率不存在時(shí)的情況。
（2）若點(diǎn) 在圓 上，則M點(diǎn)的圓的切線方程為 。
2．圓的弦長(zhǎng)的求法
（1）幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，則 。
（2）代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于 兩點(diǎn)，解方程組 消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而求得 則弦長(zhǎng)為
。
（四）直線、圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用
〖例〗如圖，矩形 的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) ， 邊所在直線的方程為 , 點(diǎn) 在 邊所在直線上．
（I）求 邊所在直線的方程；
（II）求矩形 外接圓的方程；
（III）若動(dòng)圓 過(guò)點(diǎn) ，且與矩形 的外接圓外切，求動(dòng)圓 的圓心的方程．
解答：（I）因?yàn)?邊所在直線的方程為 ，且 與 垂直，
所以直線 的斜率為 ．又因?yàn)辄c(diǎn) 在直線 上，
所以 邊所在直線的方程為 ． ．-----------------3分
（II）由 解得點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ------------4分
因?yàn)榫匦?兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為 ．
所以 為矩形 外接圓的圓心． -----------------6分
又 ．
從而矩形 外接圓的方程為 ．----------------------9分
（III）因?yàn)閯?dòng)圓 過(guò)點(diǎn) ，所以 是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓 與圓 外切，
所以 ，即 ．------------------------11分
故點(diǎn) 的軌跡是以 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 的雙曲線的左支．
因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng) ，半焦距 ．
所以虛半軸長(zhǎng) ．
從而動(dòng)圓 的圓心的軌跡方程為 ． -----------------14分
【感悟高考真題】
1．（2011?安徽高考文科?Ｔ4）若直線 過(guò)圓 的圓心，則 的值為（�。�
（A）-1 （B） 1 （C）3 （D）-3
【思路點(diǎn)撥】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到圓心坐標(biāo)，代入直線方程求出 .
【精講精析】選B.圓的方程 可變形為 ，所以圓心坐標(biāo)為（-1,2），代入直線方程得 .
2．（2011?江西高考理科?Ｔ9）若曲線 ： ?2 =0與曲線 : 有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （ ）
(? ， ） B. （? ，0）∪（0， ）
C. [? ， ] D.( －∞, － )∪( ,+∞)
【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)方程y(y-mx-m)=0,得出y=0或y-mx-m=0，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，易得m的取值范圍.
【精講精析】選B.
3．（2011?江蘇高考?Ｔ14）設(shè)集合 , , 若 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________
【思路點(diǎn)撥】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出集合所代表的幾何意義，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【精講精析】答案： 由 得， ，所以 或 .當(dāng) 時(shí)， ，且 ，又 ，所以集合A表示的區(qū)域和集合B表示的區(qū)域無(wú)公共部分；當(dāng) 時(shí)，只要 或 解得 或 ，所以，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
4．（2011?新課標(biāo)全國(guó)高考文科?Ｔ20）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線 交于A，B兩點(diǎn)，且 ，求a的值.
【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)，求出曲線 與坐標(biāo)軸的3個(gè)交點(diǎn)，然后通過(guò)3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方程或方程組求得圓C的方程;
第（2）圓，設(shè) ， ，利用直線方程 與圓的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn) ，最后利用待定系數(shù)法求得 的值.
【精講精析】（Ⅰ）曲線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0,1）（3
故可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為（3， t）則有 +
解得t=1,則圓的半徑為 .
所以圓的方程為 .
（Ⅱ）設(shè)A( B( 其坐標(biāo)滿足方程組
消去y得到方程
由已知可得判別式△=56-16a-4 >0
由韋達(dá)定理可得 ， ①
由 可得 又 .所以
2 ②
由①②可得a=-1,滿足△>0，故a=-1.
【考點(diǎn)精題精練】
一、選擇題
1．已知圓 與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 、 ，若圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) 使 、 、 成等比數(shù)列，則 的取值范圍為--------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案:B
2．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則圓C的方程為（ ）
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1
C.x2＋(y＋1)2＝1 D.x2＋(y－1)2＝1
答案:C
3．直線 與圓 相切，則 的值為（ ）
A. 0 B. C.2 D.
答案:A
4．已知 為圓 的兩條互相垂直的弦， 交于點(diǎn) ，則四邊形 面積的最大值為-----（ ）
A 4 B 5 C 6 D 7
答案:B
5．兩圓 的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切B．外切C．相離D．內(nèi)含
答案:B
6．直線x+y+1=0與圓 的位置關(guān)系是 （ ）
A.相交 B.相離 C.相切 D.不能確定
答案：C提示：圓心 ，
7．已知圓的方程為 ，設(shè)圓中過(guò)點(diǎn) 的最長(zhǎng)弦與最短弦分別為 、 ，則直線 與 的斜率之和為（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案:B
8．經(jīng)過(guò)圓 的圓心且斜率為1的直線方程為（ ）
A． B． C. D．
答案:A
9．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為原點(diǎn))，則k的值為（ ）
A、±12 B、±32 C、±33 D、±3
答案:A
10．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx + y + 4 = 0（k > 0）上一動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C： 的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（ ）
A．3B． C． D．2
答案：D
11．已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線 相切，則圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案:A
12．如圖，點(diǎn)P(3，4)為圓 上的一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)為y軸上的兩點(diǎn)，△PEF是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，直線PE，PF交圓于D，C兩點(diǎn)，直線CD交y軸于點(diǎn)A，則sin∠DAO的值為 ( )
A． B． C． D．
答案:A
二、填空題
13．如圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn)，且AB=4， ，則圓O的面積等于
答案:
14．圓C: （ 為參數(shù)）的圓心坐標(biāo)是 ；若直線 與圓C相切，則 的值為 .
答案: 0
15．已知直線 與圓 相交于 、 兩點(diǎn)， ，則 ? =
答案:
16．已知實(shí)數(shù) 成等差數(shù)列，點(diǎn) 在直線 上的射影是Q，則Q的軌跡方程是________。
答案:
三、解答題
17．已知A是圓 上任一點(diǎn)，AB垂直于x軸，交x軸于點(diǎn)B．以A為圓心、AB為半徑作圓交已知圓于C、D，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)P.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)若(1)所求得的點(diǎn)P的軌跡為M,過(guò)點(diǎn)Q( ,0)作直線l交軌跡M于E、G兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△EOG的面積的最大值，并求出此時(shí)直線l的傾斜角.
解答:(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(2cos?，2sin?)，
則以A為圓心、AB為半徑的圓的方程為
(x－2cos?)2 + (y－2sin?)2 = 4sin2?．……………… 1分
聯(lián)立已知圓x2 + y2 = 4的方程，相減，
可得公共弦CD的方程為
xcos? + ysin? = 1+ cos2?． (1) ………………3分
而AB的方程是 x = 2cos?． (2)
所以滿足(1)、(2)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos?，sin?)，消去?，即得
點(diǎn)P的軌跡方程為x2 + 4y2 = 4． ……………… 5分
說(shuō)明： 設(shè)A(m，n)亦可類似地解決．
(2) △EOG的最大面積為1. ……………… 9分
此時(shí)直線l的傾斜角為45或135. ……………… 10分
18．設(shè) 、 為坐標(biāo)平面 上的點(diǎn)，直線 （ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）與拋物線 交于點(diǎn) (異于 ).
若對(duì)任意 ，點(diǎn) 在拋物線 上，試問(wèn)當(dāng) 為何值時(shí)，點(diǎn) 在某一圓上，并求出該圓方程 ；
若點(diǎn) 在橢圓 上，試問(wèn)：點(diǎn) 能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說(shuō)明理由；
對(duì)（1）中點(diǎn) 所在圓方程 ，設(shè) 、 是圓 上兩點(diǎn)，且滿足 ，試問(wèn)：是否存在一個(gè)定圓 ，使直線 恒與圓 相切.
解答：（1） ，-------------2分
代入 -非所問(wèn)------ 4分
當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 在圓 上- --------5分
（2） 在橢圓 上，即
可設(shè) -- -------------------7分
又 ，于是
（令 ）
點(diǎn) 在雙曲線 上 ------------10分
（3） 圓 的方程為
設(shè) 由
--------------------------12分
又
， ------------14分
又原點(diǎn) 到直線 距離 ，即原點(diǎn) 到直線 的距離恒為
直線 恒與圓 相切。
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.2rcoc.com/gaosan/68836.html
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