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第4節(jié) 功能關(guān)系 能量守恒定律
【考綱知識(shí)梳理】
一、功能關(guān)系
1．做功的過(guò)程是能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程，功是能的轉(zhuǎn)化的量度。
2.功能關(guān)系——功是能量轉(zhuǎn)化的量度
⑴ 重力所做的功等于重力勢(shì)能的減少
⑵ 電場(chǎng)力所做的功等于電勢(shì)能的減少
⑶ 彈簧的彈力所做的功等于彈性勢(shì)能的減少
⑷ 合外力所做的功等于動(dòng)能的增加
⑸ 只有重力和彈簧的彈力做功，機(jī)械能守恒
⑹ 重力和彈簧的彈力以外的力所做的功等于機(jī)械能的增加 WF = E2－E1 = ΔE
⑺克服一對(duì)滑動(dòng)摩擦力所做的凈功等于機(jī)械能的減少ΔE = fΔS （ ΔS 為相對(duì)滑動(dòng)的距離）
⑻ 克服安培力所做的功等于感應(yīng)電能的增加
二、能量守恒定律
【要點(diǎn)名師透析】
一、幾種常見(jiàn)的功能關(guān)系
【例1】(2011?杭州模擬)(10分)一物塊放在如圖所示的斜面上,用力F沿斜面向下拉物塊，物塊沿斜面運(yùn)動(dòng)了一段距離，若已知在此過(guò)程中，拉力F所做的功為A，斜面對(duì)物塊的作用力所做的功為B，重力做的功為C，空氣阻力做的功為D，其中A、B、C、D的絕對(duì)值分別為100 J、30 J、100 J、20 J，則
(1)物塊動(dòng)能的增量為多少？
(2)物塊機(jī)械能的增量為多少？
【答案】(1)150 J (2)50 J
【詳解】(1)在物塊下滑的過(guò)程中，拉力F做正功，斜面對(duì)物塊有摩擦力，做負(fù)功，重力做正功，空氣阻力做負(fù)功.根據(jù)動(dòng)能定理，合外力對(duì)物塊做的功等于物塊動(dòng)能的增量，則
ΔEk=W合=A+B+C+D=100 J+(-30 J)+100 J+(-20 J)
=150 J (5分)
(2)根據(jù)功能關(guān)系，除重力之外的其他力所做的功等于物塊機(jī)械能的增量，則
ΔE機(jī)=A+B+D=100 J+(-30 J)+(-20 J)=50 J (5分)
二、摩擦力做功的特點(diǎn)
【例2】(2011?廣州模擬)(12分)質(zhì)量為M的長(zhǎng)木板放在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的滑塊以某一速度沿木板表面從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)，在板上前進(jìn)了L，而木板前進(jìn)了l，如圖所示，若滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求：
(1)摩擦力對(duì)滑塊和木板做的功；
(2)系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量.
【答案】(1)－μmg(L+l) μmgl (2)μmgL
【詳解】(1)滑塊的對(duì)地位移為x1=L+l
摩擦力對(duì)滑塊做的功為： W1=－Ffx1=－μmg(L+l) (4分)
木板的對(duì)地位移為x2=l
摩擦力對(duì)木板做的功為：W2=Ffx2=μmgl (4分)
(2)滑塊相對(duì)木板的位移為Δx=L
系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量Q=FfΔx=μmgL (4分)
三、對(duì)能量守恒定律的理解和應(yīng)用
1.對(duì)定律的理解
(1)某種形式的能減少,一定存在其他形式的能增加,且減少量和增加量一定相等.即ΔE減=ΔE增.
(2)某個(gè)物體的能量減少,一定存在其他物體的能量增加,且減少量和增加量一定相等.即ΔEA減=ΔEB增.
2.應(yīng)用能量守恒定律解題的步驟
(1)分清有多少形式的能［如動(dòng)能、勢(shì)能(包括重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、電勢(shì)能)、內(nèi)能等］在變化.
(2)明確哪種形式的能量增加,哪種形式的能量減少,并且列出減少的能量ΔE減和增加的能量ΔE增的表達(dá)式.
(3)列出能量守恒關(guān)系式:ΔE減=ΔE增.
【例3】(2011?福州模擬)(16分)如圖所示,光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相切,半圓形導(dǎo)軌的半徑為R.一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放,在彈力作用下物體獲得某一向右的速度后脫離彈簧,當(dāng)它經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌的瞬間對(duì)軌道的壓力為其重力的8倍,之后向上運(yùn)動(dòng)恰能到達(dá)最高點(diǎn)C.(不計(jì)空氣阻力)試求:
(1)物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能.
(2)物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能.
【答案】(1) (2)mgR
【詳解】 (1)設(shè)物體在B點(diǎn)的速度為vB,彈力為FNB,則有
(3分)
又FNB=8mg
由能量轉(zhuǎn)化與守恒可知:
彈性勢(shì)能 (4分)
(2)設(shè)物體在C點(diǎn)的速度為vC,由題意可知:
(3分)
物體由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中,由能量守恒得：
(4分)
解得：Q=mgR (2分)
【考點(diǎn)模擬演練】
1.（2011?新課標(biāo)全國(guó)卷?T16）一蹦極運(yùn)動(dòng)員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺(tái)下落，到最低點(diǎn)時(shí)距水面還有數(shù)米距離。假定空氣阻力可忽略，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是
A. 運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前重力勢(shì)能始終減小
B. 蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈性力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加
C. 蹦極過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D. 蹦極過(guò)程中，重力勢(shì)能的改變與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)
【答案】選A、B、C。
【詳解】運(yùn)動(dòng)員在下落過(guò)程中，重力做正功，重力勢(shì)能減小，故A正確。蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈性力向上，位移向下，彈性力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加，故B正確。選取運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦繩為一系統(tǒng)，在蹦極過(guò)程中，只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，這個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故C正確。重力勢(shì)能改變的表達(dá)式為?Ep=mg?h，由于?h是絕對(duì)的與選取的重力勢(shì)能參考零點(diǎn)無(wú)關(guān)，故D錯(cuò)。
6.（2011?安徽高考?T24）如圖所示，質(zhì)量M=2kg的滑塊套在光滑的水平
軌道上，質(zhì)量m=1kg的小球通過(guò)長(zhǎng)L=0.5m的輕質(zhì)細(xì)桿與滑塊上的光滑軸O連接，小球和輕桿可在豎直平面內(nèi)繞O軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始輕桿處于水平狀態(tài)，現(xiàn)給小球一個(gè)豎直向上的初速度 =4 m/s，g取10 。
若鎖定滑塊，試求小球通過(guò)最高點(diǎn)P時(shí)對(duì)輕桿的作用力大小和方向。
（2）若解除對(duì)滑塊的鎖定，試求小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小。
在滿(mǎn)足（2）的條件下，試求小球擊中滑塊右側(cè)軌道位置點(diǎn)與小球起始位置點(diǎn)間的距離。
【答案】（1）2N，方向豎直向上 （2） （3） m
【詳解】設(shè)小球能通過(guò)最高點(diǎn)，且此時(shí)的速度為v1，在上升過(guò)程中，因只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，則 ①
②
設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的作用力為F，方向向下，則小球受到的拉力和重力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有 ③
由②③式，得 ④
由牛頓第三定律知，小球?qū)�輕桿的作用力大小為2N，方向豎直向上。
（2）若解除鎖定，設(shè)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v2，此時(shí)滑塊的速度為V 。小球和滑塊起始狀態(tài)沿在水平方向初速度均為零，在上升過(guò)程中，因系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，水平方向的動(dòng)量守恒。以水平向右方向?yàn)檎�方向，�?⑤
在上升過(guò)程中，因只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則 ⑥，
由⑤⑥式得 。
（3）設(shè)小球擊中滑塊右側(cè)軌道的位置點(diǎn)與小球起始位置點(diǎn)間的距離為s1,滑塊向左移動(dòng)的距離為s2。任意時(shí)刻小球的水平速度大小為v3，滑塊的速度大小為V‘。由系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，得 ⑦將⑦式兩邊同乘以 ，得 ⑧，因⑧式對(duì)任意時(shí)刻附近的微小間隔 都成立，累積相加后，有 ⑨，又 ⑩,由⑨⑩式，得 m
3.（2011?大綱版全國(guó)?T26）26.裝甲車(chē)和戰(zhàn)艦采用多層鋼板比采用同樣質(zhì)量的單層鋼板更能抵御穿甲彈的射擊。通過(guò)對(duì)一下簡(jiǎn)化模型的計(jì)算可以粗略說(shuō)明其原因。
質(zhì)量為2m、厚度為2d的鋼板靜止在水平光滑桌面上。質(zhì)量為m的子彈以某一速度垂直射向該鋼板，剛好能將鋼板射穿�，F(xiàn)把鋼板分成厚度均為d、質(zhì)量均為m的相同兩塊，間隔一段距離水平放置，如圖所示。若子彈以相同的速度垂直射向第一塊鋼板，穿出后再射向第二塊鋼板，求子彈射入第二塊鋼板的深度。設(shè)子彈在鋼板中受到的阻力為恒力，且兩塊鋼板不會(huì)發(fā)生碰撞不計(jì)重力影響。
【詳解】設(shè)子彈初速度為 ，射入厚為 的鋼板后，最終的共同速度為 ，根據(jù)動(dòng)量守恒
…………………①
解得
動(dòng)能損失 …………………③
分成兩塊鋼板之后，設(shè)子彈打穿第一塊時(shí)兩者的速度分別是 和 ，根據(jù)動(dòng)量守恒
…………………③
子彈在鋼板中所受的阻力為恒力，射穿第一塊鋼板的動(dòng)能損失為 ，根據(jù)能量守恒，
…………………④
聯(lián)立①②③④，考慮到 必須大于 ，得
…………………⑤
設(shè)子彈射入第二塊鋼板并留在其中后兩者的共同速度為 ，根據(jù)動(dòng)量守恒
…………………⑥
動(dòng)能損失
…………………⑦
聯(lián)立①②⑤⑥⑦，得
…………………⑧
因?yàn)樽訌椩阡摪逯兴�受的阻力為恒力，由⑧式，得射入第二塊鋼版的深度
…………………⑨
4.（09?天津?10） 如圖所示，質(zhì)量m1=0.3 kg 的小車(chē)靜止在光滑的水平面上，車(chē)長(zhǎng)L=15 m,現(xiàn)有質(zhì)量m2=0.2 kg可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊，以水平向右的速度v0=2 m/s從左端滑上小車(chē)，最后在車(chē)面上某處與小車(chē)保持相對(duì)靜止。物塊與車(chē)面間的動(dòng)摩擦因數(shù) =0.5,取g=10 m/s2，求
（1）物塊在車(chē)面上滑行的時(shí)間t;
（2）要使物塊不從小車(chē)右端滑出，物塊滑上小車(chē)左端的速度v′0不超過(guò)多少。
答案：（1）0.24s (2)5m/s
解析：本題考查摩擦拖動(dòng)類(lèi)的動(dòng)量和能量問(wèn)題。涉及動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量定理和功能關(guān)系這些物理規(guī)律的運(yùn)用。
（1）設(shè)物塊與小車(chē)的共同速度為v，以水平向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
①
設(shè)物塊與車(chē)面間的滑動(dòng)摩擦力為F，對(duì)物塊應(yīng)用動(dòng)量定理有
②
其中 ③
解得
代入數(shù)據(jù)得 ④
（2）要使物塊恰好不從車(chē)廂滑出，須物塊到車(chē)面右端時(shí)與小車(chē)有共同的速度v′，則
⑤
由功能關(guān)系有
⑥
代入數(shù)據(jù)解得 =5m/s
故要使物塊不從小車(chē)右端滑出，物塊滑上小車(chē)的速度v0′不能超過(guò)5m/s。
5.（09?山東?38）（2）如圖所示，光滑水平面軌道上有三個(gè)木塊，A、B、C，質(zhì)量分別為mB=mc=2m,mA=m，A、B用細(xì)繩連接，中間有一壓縮的彈簧 (彈簧與滑塊不栓接)。開(kāi)始時(shí)A、B以共同速度v0運(yùn)動(dòng)，C靜止。某時(shí)刻細(xì)繩突然斷開(kāi)，A、B被彈開(kāi)，然后B又與C發(fā)生碰撞并粘在一起，最終三滑塊速度恰好相同。求B與C碰撞前B的速度。
解析：（2）設(shè)共同速度為v，球A和B分開(kāi)后，B的速度為 ,由動(dòng)量守恒定律有 , ,聯(lián)立這兩式得B和C碰撞前B的速度為 。
考點(diǎn)：動(dòng)量守恒定律
6.（09?安徽?24）過(guò)山車(chē)是游樂(lè)場(chǎng)中常見(jiàn)的設(shè)施。下圖是一種過(guò)山車(chē)的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑 、 。一個(gè)質(zhì)量為 kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以 的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距 m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù) ，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取 ，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。試求
（1）小球在經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大�。�
（2）如果小球恰能通過(guò)第二圓形軌道，B、C間距 應(yīng)是多少；
（3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑 應(yīng)滿(mǎn)足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn) 的距離。
答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，
解析：（1）設(shè)小于經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v1根據(jù)動(dòng)能定理
①
小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律
②
由①②得 ③
（2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v2，由題意
④
⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過(guò)第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿(mǎn)足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動(dòng)能定理
解得
為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿(mǎn)足
解得 R3=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿(mǎn)足下面的條件
或
當(dāng) 時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L(zhǎng)′，則
當(dāng) 時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L(zhǎng)?，則
7.（09?重慶?23）2009年中國(guó)女子冰壺隊(duì)首次獲得了世界錦標(biāo)賽冠軍，這引起了人們對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)的關(guān)注。冰壺在水平冰面上的一次滑行可簡(jiǎn)化為如下過(guò)程：如題23圖，運(yùn)動(dòng)員將靜止于O點(diǎn)的冰壺（視為質(zhì)點(diǎn)）沿直線 推到A點(diǎn)放手，此后冰壺沿 滑行，最后停于C點(diǎn)。已知冰面各冰壺間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，冰壺質(zhì)量為m，AC=L， =r,重力加速度為g
（1）求冰壺在A 點(diǎn)的速率；
（2）求冰壺從O點(diǎn)到A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的沖量大�。�
（3）若將 段冰面與冰壺間的動(dòng)摩擦因數(shù)減小為 ，原只能滑到C點(diǎn)的冰壺能停于 點(diǎn)，求A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離。
解析：
8.（09?廣東物理?19）如圖19所示，水平地面上靜止放置著物塊B和C，相距 =1.0m 。物塊A以速度 =10m/s沿水平方向與B正碰。碰撞后A和B牢固地粘在一起向右運(yùn)動(dòng)，并再與C發(fā)生正碰，碰后瞬間C的速度 =2.0m/s 。已知A和B的質(zhì)量均為m，C的質(zhì)量為A質(zhì)量的k倍，物塊與地面的動(dòng)摩擦因數(shù) =0.45.（設(shè)碰撞時(shí)間很短，g取10m/s2）
（1）計(jì)算與C碰撞前瞬間AB的速度；
（2）根據(jù)AB與C的碰撞過(guò)程分析k的取值范圍，并討論與C碰撞后AB的可能運(yùn)動(dòng)方向。
解析：⑴設(shè)AB碰撞后的速度為v1,AB碰撞過(guò)程由動(dòng)量守恒定律得
設(shè)與C碰撞前瞬間AB的速度為v2，由動(dòng)能定理得
聯(lián)立以上各式解得
⑵若AB與C發(fā)生完全非彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律得
代入數(shù)據(jù)解得
此時(shí)AB的運(yùn)動(dòng)方向與C相同
若AB與C發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒和能量守恒得
聯(lián)立以上兩式解得
代入數(shù)據(jù)解得
此時(shí)AB的運(yùn)動(dòng)方向與C相反
若AB與C發(fā)生碰撞后AB的速度為0，由動(dòng)量守恒定律得
代入數(shù)據(jù)解得
總上所述得 當(dāng) 時(shí)，AB的運(yùn)動(dòng)方向與C相同
當(dāng) 時(shí)，AB的速度為0
當(dāng) 時(shí)，AB的運(yùn)動(dòng)方向與C相反
9.（09?廣東物理?20）如圖20所示，絕緣長(zhǎng)方體B置于水平面上，兩端固定一對(duì)平行帶電極板，極板間形成勻強(qiáng)電場(chǎng)E。長(zhǎng)方體B的上表面光滑，下表面與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù) =0.05（設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相同）。B與極板的總質(zhì)量 =1.0kg.帶正電的小滑塊A質(zhì)量 =0.60kg，其受到的電場(chǎng)力大小F=1.2N.假設(shè)A所帶的電量不影響極板間的電場(chǎng)分布。t=0時(shí)刻，小滑塊A從B表面上的a點(diǎn)以相對(duì)地面的速度 =1.6m/s向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，B（連同極板）以相對(duì)地面的速度 =0.40m/s向右運(yùn)動(dòng)。問(wèn)（g取10m/s2）
（1）A和B剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小分別為多少？
（2）若A最遠(yuǎn)能到達(dá)b點(diǎn)，a、b的距離L應(yīng)為多少？從t=0時(shí)刻至A運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)時(shí)，摩擦力對(duì)B做的功為多少？
解析：⑴由牛頓第二定律 有
A剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小 方向水平向右
B剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)受電場(chǎng)力和摩擦力作用
由牛頓第三定律得電場(chǎng)力
摩擦力
B剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小 方向水平向左
⑵設(shè)B從開(kāi)始勻減速到零的時(shí)間為t1，則有
此時(shí)間內(nèi)B運(yùn)動(dòng)的位移
t1時(shí)刻A的速度 ，故此過(guò)程A一直勻減速運(yùn)動(dòng)。
此t1時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動(dòng)的位移
此t1時(shí)間內(nèi)A相對(duì)B運(yùn)動(dòng)的位移
此t1時(shí)間內(nèi)摩擦力對(duì)B做的功為
t1后，由于 ，B開(kāi)始向右作勻加速運(yùn)動(dòng)，A繼續(xù)作勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們速度相等時(shí)A、B相距最遠(yuǎn)，設(shè)此過(guò)程運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2，它們速度為v，則有
對(duì)A 速度
對(duì)B 加速度
速度
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得
此t2時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動(dòng)的位移
此t2時(shí)間內(nèi)B運(yùn)動(dòng)的位移
此t2時(shí)間內(nèi)A相對(duì)B運(yùn)動(dòng)的位移
此t2時(shí)間內(nèi)摩擦力對(duì)B做的功為
所以A最遠(yuǎn)能到達(dá)b點(diǎn)a、b的距離L為
從t=0時(shí)刻到A運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)時(shí)，摩擦力對(duì)B做的功為
。
10.（09?寧夏?24）冰壺比賽是在水平冰面上進(jìn)行的體育項(xiàng)目，比賽場(chǎng)地示意如圖。比賽時(shí)，運(yùn)動(dòng)員從起滑架處推著冰壺出發(fā)，在投擲線AB處放手讓冰壺以一定的速度滑出，使冰壺的停止位置盡量靠近圓心O.為使冰壺滑行得更遠(yuǎn)，運(yùn)動(dòng)員可以用毛刷擦冰壺運(yùn)行前方的冰面，使冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)減小。設(shè)冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 =0.008，用毛刷擦冰面后動(dòng)摩擦因數(shù)減少至 =0.004.在某次比賽中，運(yùn)動(dòng)員使冰壺C在投擲線中點(diǎn)處以2m/s的速度沿虛線滑出。為使冰壺C能夠沿虛線恰好到達(dá)圓心O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員用毛刷擦冰面的長(zhǎng)度應(yīng)為多少？（g取10m/s2）
解析：
設(shè)冰壺在未被毛刷擦過(guò)的冰面上滑行的距離為 ，所受摩擦力的大小為 ：在 被毛刷擦過(guò)的冰面上滑行的距離為 ，所受摩擦力的大小為 。則有
+ =S ①
式中S為投擲線到圓心O的距離。
②
③
設(shè)冰壺的初速度為 ，由功能關(guān)系，得
④
聯(lián)立以上各式，解得
⑤
代入數(shù)據(jù)得
⑥
【考點(diǎn)模擬演練】
1.已知貨物的質(zhì)量為m,在某段時(shí)間內(nèi)起重機(jī)將貨物以a的加速度加速升高h(yuǎn),則在這段時(shí)間內(nèi)，下列敘述正確的是(重力加速度為g)( )
A.貨物的動(dòng)能一定增加mah-mgh
B.貨物的機(jī)械能一定增加mah
C.貨物的重力勢(shì)能一定增加mah
D.貨物的機(jī)械能一定增加mah+mgh
【答案】選D.
【詳解】根據(jù)動(dòng)能定理可知，貨物動(dòng)能的增加量等于貨物合外力做的功mah，A錯(cuò)誤；根據(jù)功能關(guān)系，貨物機(jī)械能的增量等于除重力以外的力做的功而不等于合外力做的功,B錯(cuò)誤；由功能關(guān)系知,重力勢(shì)能的增量對(duì)應(yīng)貨物重力做的負(fù)功的大小mgh,C錯(cuò)誤；由功能關(guān)系,貨物機(jī)械能的增量為起重機(jī)拉力做的功m(g+a)h,D正確.
2.(2011?福州模擬)重物m系在上端固定的輕彈簧下端,用手托起重物,使彈簧處于豎直方向,彈簧的長(zhǎng)度等于原長(zhǎng)時(shí),突然松手,重物下落的過(guò)程中,對(duì)于重物、彈簧和地球組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),正確的是(彈簧始終在彈性限度內(nèi)變化)( )
A.重物的動(dòng)能最大時(shí),重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的總和最小
B.重物的重力勢(shì)能最小時(shí),動(dòng)能最大
C.彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí),重物的動(dòng)能最小
D.重物的重力勢(shì)能最小時(shí),彈簧的彈性勢(shì)能最大
【答案】選A、C、D.
【詳解】重物下落過(guò)程中,只發(fā)生動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化,所以當(dāng)動(dòng)能最大時(shí),重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的總和最小,A正確;當(dāng)重物的重力勢(shì)能最小時(shí),重物應(yīng)下落到最低點(diǎn),其速度為零,動(dòng)能最小,此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量最大,彈性勢(shì)能最大,故B錯(cuò)誤,C、D正確.
3.如圖(甲)所示，質(zhì)量不計(jì)的彈簧豎立固定在水平面上，t=0時(shí)刻，將一金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，小球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點(diǎn)，然后又被彈起離開(kāi)彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復(fù).通過(guò)安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測(cè)出這一過(guò)程彈簧彈力F隨時(shí)間t變化的圖象如圖(乙)所示，則( )
A.t1時(shí)刻小球動(dòng)能最大
B.t2時(shí)刻小球動(dòng)能最大
C.t2～t3這段時(shí)間內(nèi)，小球的動(dòng)能先增加后減少
D.t2～t3這段時(shí)間內(nèi)，小球增加的動(dòng)能等于彈簧減少的彈性勢(shì)能
【答案】選C.
【詳解】小球在未碰彈簧前先做自由落體運(yùn)動(dòng)，碰后先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)直到加速度為零，即重力等于彈簧的彈力時(shí)速度最大，而后做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，上升過(guò)程恰好與下降過(guò)程互逆，在整個(gè)過(guò)程中小球的動(dòng)能、勢(shì)能及彈簧的彈性勢(shì)能總和不變，由(乙)圖可知t1時(shí)刻小球開(kāi)始接觸彈簧，t2時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，動(dòng)能最小，t3時(shí)刻小球恰好離開(kāi)彈簧上升，t2～t3這段時(shí)間內(nèi)小球從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中先加速到速度最大然后做減速運(yùn)動(dòng)，小球動(dòng)能先增加后減少，彈簧減少的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能和重力勢(shì)能，故選C.
4.(2011?吉林模擬)如圖所示，小球從A點(diǎn)以初速度v0沿粗糙斜面向上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)B后返回A，C為AB的中點(diǎn).下列說(shuō)法中正確的是( )
A.小球從A出發(fā)到返回A的過(guò)程中，位移為零，外力做功為零
B.小球從A到C過(guò)程與從C到B過(guò)程，減少的動(dòng)能相等
C.小球從A到C過(guò)程與從C到B過(guò)程，速度的變化量相等
D.小球從A到C過(guò)程與從C到B過(guò)程，損失的機(jī)械能相等
【答案】選B、D.
【詳解】小球從A出發(fā)到返回A的過(guò)程中，重力做功為零，摩擦力做負(fù)功，A錯(cuò)誤；小球從A到C過(guò)程與從C到B過(guò)程中，合外力做功相等，動(dòng)能的增量相等，但速度的變化量不等，B正確，C錯(cuò)誤；小球從A到C過(guò)程與從C到B過(guò)程，損失的機(jī)械能等于克服摩擦力做的功，而克服摩擦力做的功相等，故D正確.
5．節(jié)日燃放禮花彈時(shí)，要先將禮花彈放入一個(gè)豎直的炮筒中，然后點(diǎn)燃禮花彈的發(fā)射部分，通過(guò)火藥劇烈燃燒產(chǎn)生的高壓燃?xì)�，將禮花彈由炮筒底部射向空中．若禮花彈在由炮筒底部出發(fā)至炮筒口的過(guò)程中，克服重力做功W1，克服炮筒阻力及空氣阻力做功W2，高壓燃?xì)鈱?duì)禮花彈做功W3，則禮花彈在炮筒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中(設(shè)禮花彈發(fā)射過(guò)程中質(zhì)量不變)
(　　)
A．禮花彈的動(dòng)能變化量為W3＋W2＋W1
B．禮花彈的動(dòng)能變化量為W3－W2－W1
C．禮花彈的機(jī)械能變化量為W3－W2
D．禮花彈的機(jī)械能變化量為W3－W1
【答案】BC
【詳解】由動(dòng)能定理，動(dòng)能變化量等于合外力做的功，即W3－W2－W1，B正確．除重力之外的力的功對(duì)應(yīng)機(jī)械能的變化，即W3－W2，C正確．
6．飛船返回時(shí)高速進(jìn)入大氣層后，受到空氣阻力的作用，接近地面時(shí)，減速傘打開(kāi)，在距地面幾米處，制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火制動(dòng)，飛船迅速減速，安全著陸．下列說(shuō)法正確的是
(　　)
A．制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火制動(dòng)后，飛船的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能減小
B．制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)，由于化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，飛船的機(jī)械能增加
C．重力始終對(duì)飛船做正功，使飛船的機(jī)械能增加
D．重力對(duì)飛船做正功，阻力對(duì)飛船做負(fù)功，飛船的機(jī)械能不變
【答案】A
【詳解】制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火制動(dòng)后，飛船迅速減速下落，動(dòng)能、重力勢(shì)能均變小，機(jī)械能減小，A正確，B錯(cuò)誤；飛船進(jìn)入大氣層后，空氣阻力做負(fù)功，機(jī)械能一定減小，故C、D均錯(cuò)誤．
7．如圖所示，具有一定初速度的物塊，沿傾角為30°的粗糙斜面向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，受一個(gè)恒定的沿斜面向上的拉力F作用，這時(shí)物塊的加速度大小為4 m/s2，方向沿斜面向下，那么，在物塊向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正確的說(shuō)法是 (　　)
A．物塊的機(jī)械能一定增加
B．物塊的機(jī)械能一定減小
C．物塊的機(jī)械能可能不變
D．物塊的機(jī)械能可能增加也可能減小
【答案】A
【詳解】機(jī)械能變化的原因是非重力、彈簧彈力做功，本題亦即看成F與Fμ做功大小問(wèn)題，由mgsinα＋Fμ－F＝ma，知F－Fμ＝mgsin30°－ma>0，即F>Fμ，故F做正功多于克服摩擦力做功，故機(jī)械能增大．
8．如圖所示，分別用恒力F1、F2先后將質(zhì)量為m的物體由靜止開(kāi)始沿同一粗糙的固定斜面由底端拉至頂端，兩次所用時(shí)間相同，第一次力F1沿斜面向上，第二次力F2沿水平方向，則兩個(gè)過(guò)程
(　　)
A．合外力做的功相同
B．物體機(jī)械能變化量相同
C．F1做的功與F2做的功相同
D．F1做的功比F2做的功多
【答案】AB
【詳解】?jī)纱挝矬w運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間相等，則兩次的加速度相等，末速度也應(yīng)相等，則物體的機(jī)械能變化量相等，合力做功也應(yīng)相等．用F2拉物體時(shí)，摩擦力做功多些，兩次重力做功相等，由動(dòng)能定理知，用F2拉物體時(shí)拉力做功多．
9．一物體沿固定斜面從靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0滑至斜面底端．已知在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體所受的摩擦力恒定．若用F、v、x和E分別表示該物體所受的合力、物體的速度、位移和機(jī)械能，則如下圖所示的圖象中可能正確的是
(　　)
【答案】AD
【詳解】物體在沿斜面向下滑動(dòng)的過(guò)程中，受到重力、支持力、摩擦力的作用，其合力為恒力，A正確；而物體在此合力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，v＝at，x＝12at2，所以B、C錯(cuò)；物體受摩擦力作用，總的機(jī)械能將減小，D正確．
10.如圖所示，甲、乙兩車(chē)用輕彈簧相連靜止在光滑的水平面上，現(xiàn)在同時(shí)對(duì)甲、乙兩車(chē)施加等大反向的水平恒力F1、F2，使甲、乙同時(shí)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)過(guò)程中，對(duì)甲、乙兩車(chē)及彈簧組成的系統(tǒng)(假定整個(gè)過(guò)程中彈簧均在彈性限度內(nèi))，正確的說(shuō)法是( )
A.系統(tǒng)受到外力作用，動(dòng)能不斷增大
B.彈簧伸長(zhǎng)到最長(zhǎng)時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大
C.恒力對(duì)系統(tǒng)一直做正功，系統(tǒng)的機(jī)械能不斷增大
D.兩車(chē)的速度減小到零時(shí)，彈簧的彈力大小大于外力F1、F2的大小
【答案】選B.
【詳解】對(duì)甲、乙單獨(dú)受力分析，兩車(chē)都先加速后減速，故系統(tǒng)動(dòng)能先增大后減小，A錯(cuò)誤；彈簧最長(zhǎng)時(shí)，外力對(duì)系統(tǒng)做正功最多，系統(tǒng)的機(jī)械能最大，B正確；彈簧達(dá)到最長(zhǎng)后，甲、乙兩車(chē)開(kāi)始反向加速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)1、F2對(duì)系統(tǒng)做負(fù)功，系統(tǒng)機(jī)械能開(kāi)始減小，C錯(cuò)；當(dāng)兩車(chē)第一次速度減小到零時(shí)，彈簧彈力大小大于F1、F2的大小，當(dāng)返回第二次速度最大時(shí)，彈簧的彈力大小等于外力大小，當(dāng)速度再次為零時(shí)，彈簧的彈力大小小于外力F1、F2的大小，D錯(cuò)誤.
11．(16分)工廠流水線上采用彈射裝置把物品轉(zhuǎn)運(yùn)，現(xiàn)簡(jiǎn)化其模型分析：如圖所示，質(zhì)量為m的滑塊，放在光滑的水平平臺(tái)上，平臺(tái)右端B與水平傳送帶相接，傳送帶的運(yùn)行速度為v0，長(zhǎng)為L(zhǎng)；現(xiàn)將滑塊向左壓縮固定在平臺(tái)上的輕彈簧，到達(dá)某處時(shí)由靜止釋放，若滑塊離開(kāi)彈簧時(shí)的速度小于傳送帶的速度，當(dāng)滑塊滑到傳送帶右端C時(shí)，恰好與傳送帶速度相同，滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.求：
(1)釋放滑塊時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能；
(2)滑塊在傳送帶上滑行的整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．
【答案】　(1)12mv20－μmgL
(2)mv0(v0－ v20－2μgL)－μmgL
【詳解】(1)設(shè)滑塊沖上傳送帶時(shí)的速度為v，在彈簧彈開(kāi)過(guò)程中，
由機(jī)械能守恒Ep＝12mv2
滑塊在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)
由動(dòng)能定理μmgL＝12mv20－12mv2
解得：Ep＝12mv20－μmgL.
(2)設(shè)滑塊在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則t時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移
s＝v0t
v0＝v＋at　μmg＝ma
滑塊相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的位移Δs＝s－L
相對(duì)滑動(dòng)生成的熱量Q＝μmgΔs
解得：Q＝mv0(v0－ v20－2μgL)－μmgL.
12． (17分)如圖所示，一質(zhì)量為m的滑塊從高為h的光滑圓弧形槽的頂端A處無(wú)初速度地滑下，槽的底端B與水平傳送帶相接，傳送帶的運(yùn)行速度恒為v0，兩輪軸心間距為l，滑塊滑到傳送帶上后做勻加速運(yùn)動(dòng)，滑到傳送帶右端C時(shí)，恰好加速到與傳送帶的速度相同，求：
(1)滑塊到達(dá)底端B時(shí)的速度大小vB；
(2)滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
(3)此過(guò)程中，由于克服摩擦力做功而產(chǎn)生的熱量Q.
【答案】(1) 2gh　(2)v20－2gh2gl　(3)m?v0－2gh?22
【詳解】　(1)滑塊在由A到B的過(guò)程中機(jī)械能守恒，
可得：mgh＝12mv2B.
解得：vB＝2gh.
(2)滑塊在由B到C的過(guò)程中，應(yīng)用動(dòng)能定理得：
μmgl＝12mv20－12mv2B.
解得μ＝v20－2gh2gl.
(3)Q＝Ff?l相對(duì)＝μmgl相對(duì)
l相對(duì)＝?v0－vB?22μg＝?v0－2gh?22μg，
故Q＝m?v0－2gh?22.


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