一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合M=0，1，2，3，4，N=1＜log2（x+2）＜2，則M∩N=（ ）
A．1 B．2，3 C．0，1 D．2，3，4
2．已知a∈R，則“|a?1|+|a|≤1”是“函數(shù)y=ax在R上為減函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知向量 =（2，3）， =（?1，2），若 ?2 與非零向量m +n 共線，則 等于（ �。�
A．?2 B．2 C．? D．
4．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積是（ �。�
A．84 B． C． D．
5．已知平面α與平面β交于直線l，且直線a⊂α，直線b⊂β，則下列命題錯(cuò)誤的是（ �。�
A．若α⊥β，a⊥b，且b與l不垂直，則a⊥l
B．若α⊥β，b⊥l，則a⊥b
C．若a⊥b，b⊥l，且a與l不平行，則α⊥β
D．若a⊥l，b⊥l，則α⊥β
6．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實(shí)數(shù)，若f（x）≤|f（ ）|對(duì)x∈R恒成立，且f（ ）＞f（π），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ �。�
A．[kπ? ，kπ+ ]（k∈Z） B．[kπ，kπ+ ]（k∈Z）
C．[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z） D．[kπ? ，kπ]（k∈Z）
7．已知實(shí)數(shù)列an是等比數(shù)列，若a2a5a8=?8，則 + + （ �。�
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
8．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C： ? =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，其離心率為e，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），直線F1B與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸，直線F1B的交點(diǎn)分別為M，R，若△RMF1與△PQF2的面積之比為e，則雙曲線C的離心率為（ �。�
A． B． C．2 D．
二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．
9．已知loga2=m，loga3=n，則a2m+n= ，用m，n表示log46為 �。�
10．已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ，若M是拋物線上一點(diǎn)，|MF|=4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠MFO= ．
11．若函數(shù)f（x）= 為奇函數(shù)，則a= ，f（g（?2））= �。�
12．對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在實(shí)數(shù)a，使得f（a+x）•f（a?x）=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立，則稱f（x）為關(guān)于a的“倒函數(shù)”．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是關(guān)于0和1的“倒函數(shù)”，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的取值范圍為[1，2]，則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）的取值范圍為 ，當(dāng)x∈[?2019，2019]時(shí)，f（x）的取值范圍為 ．
13．已知關(guān)于x的方程x2+ax+2b?2=0（a，b∈R）有兩個(gè)相異實(shí)根，若其中一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則 的取值范圍是 ．
14．若正數(shù)x，y滿足x2+4y2+x+2y=1，則xy的最大值為 �。�
15．在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，將直線BC繞AC旋轉(zhuǎn)得到B1C，直線AC繞AB旋轉(zhuǎn)得到AC1，則在所有旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線B1C與直線AC1所成角的取值范圍為 �。�
三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a=2，2cos2 +sinA= ．
（Ⅰ）若滿足條件的△ABC有且只有一個(gè)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)取最大值時(shí)，求b的值．
17．如圖，在多面體EF?ABCD中，ABCD，ABEF均為直角梯形， ，DCEF為平行四邊形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：DF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若△ABD是等邊三角形，且BF與平面DCEF所成角的正切值為 ，求二面角A?BF?C的平面角的余弦值．
18．已知函數(shù)f（x）=x2?1．
（1）對(duì)于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x?1）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1∈[1，2]．存在實(shí)數(shù)x2∈[1，2]，使得f（x1）=|
|2f（x2）?ax2|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．已知F1，F(xiàn)2為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)2在以 為圓心，1為半徑的圓C2上，且|QF1|+|QF2|=2a．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線l1交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)，過(guò)P與l1垂直的直線l2交圓C2于C，D兩點(diǎn)，M為線段CD中點(diǎn)，求△MAB面積的取值范圍．
20．對(duì)任意正整數(shù)n，設(shè)an是方程x2+ =1的正根．求證：
（1）an+1＞an；
（2） + +…+ ＜1+ + +…+ ．
2018-2019學(xué)年浙江省寧波市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合M=0，1，2，3，4，N=1＜log2（x+2）＜2，則M∩N=（ �。�
A．1 B．2，3 C．0，1 D．2，3，4
【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．
【分析】求出N中不等式的解集確定出N，找出M與N的交集即可．
【解答】解：由N中不等式變形得：log22=1＜log2（x+2）＜2=log24，即2＜x+2＜4，
解得：0＜x＜2，即N=（0，2），
∵M(jìn)=0，1，2，3，4，
∴M∩N=1，
故選：A．
2．已知a∈R，則“|a?1|+|a|≤1”是“函數(shù)y=ax在R上為減函數(shù)”的（ �。�
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．
【分析】先求出不等式|a?1|+|a|≤1的解集，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷充分必要性即可．
【解答】解：a＜0時(shí)：|a?1|+|a|=1?a?a≤1，解得：a≥0，無(wú)解，
0≤a≤1時(shí)：|a?1|+|a|=1?a+1=1≤，成立，
a＞1時(shí)：|a?1|+|a|=2a?1≤1，解得：a≤1，無(wú)解，
故不等式的解集是a∈[0，1]，
若函數(shù)y=ax在R上為減函數(shù)，則a∈（0，1），
故“|a?1|+|a|≤1”是“函數(shù)y=ax在R上為減函數(shù)”的必要不充分條件．
3．已知向量 =（2，3）， =（?1，2），若 ?2 與非零向量m +n 共線，則 等于（ ）
A．?2 B．2 C．? D．
【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．
【分析】先求出 ?2 和m +n ，再由向量共線的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵向量 =（2，3）， =（?1，2），
∴ ?2 =（2，3）?（?2，4）=（4，?1），
m +n =（2m?n，3m+2n），
∵ ?2 與非零向量m +n 共線，
∴ ，
解得14m=?7n， =? ．
故選：C．
4．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積是（ ）
A．84 B． C． D．
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．
【分析】幾何體為側(cè)放的五棱柱，底面為正視圖中的五邊形，棱柱的高為4．
【解答】由三視圖可知幾何體為五棱柱，底面為正視圖中的五邊形，高為4．
所以五棱柱的表面積為（4×4? ）×2+（4+4+2+2+2 ）×4=76+48 ．
故選B．
5．已知平面α與平面β交于直線l，且直線a⊂α，直線b⊂β，則下列命題錯(cuò)誤的是（ �。�
A．若α⊥β，a⊥b，且b與l不垂直，則a⊥l
B．若α⊥β，b⊥l，則a⊥b
C．若a⊥b，b⊥l，且a與l不平行，則α⊥β
D．若a⊥l，b⊥l，則α⊥β
【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．
【分析】根據(jù)空間直線和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．若α⊥β，a⊥b，且b與l不垂直，則a⊥l，正確
B．若α⊥β，b⊥l，則b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，正確
C．∵a與l不平行，∴a與l相交，∵a⊥b，b⊥l，∴b⊥α，則α⊥β正確．
D．若a⊥l，b⊥l，不能得出α⊥β，因?yàn)椴粷M足面面垂直的條件，故D錯(cuò)誤，
故選：D
6．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實(shí)數(shù)，若f（x）≤|f（ ）|對(duì)x∈R恒成立，且f（ ）＞f（π），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．[kπ? ，kπ+ ]（k∈Z）
B．[kπ，kπ+ ]（k∈Z）
C．[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z） D．[kπ? ，kπ]（k∈Z）
【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．
【分析】由若 對(duì)x∈R恒成立，結(jié)合函數(shù)最值的定義，我們易得f（ ）等于函數(shù)的最大值或最小值，由此可以確定滿足條件的初相角φ的值，結(jié)合 ，易求出滿足條件的具體的φ值，然后根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，即可得到答案．
【解答】解：若 對(duì)x∈R恒成立，
則f（ ）等于函數(shù)的最大值或最小值
即2× +φ=kπ+ ，k∈Z
則φ=kπ+ ，k∈Z
又
即sinφ＜0
令k=?1，此時(shí)φ= ，滿足條件
令2x ∈[2kπ? ，2kπ+ ]，k∈Z
解得x∈
故選C
7．已知實(shí)數(shù)列an是等比數(shù)列，若a2a5a8=?8，則 + + （ �。�
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【分析】先求出a5=?2，再由 + + =1+ + ，利用均值定理能求出 + + 有最小值 ．
【解答】解：∵數(shù)列an是等比數(shù)列，a2a5a8=?8，∴ ，
解得a5=?2，
∴ + + = + + =1+ + ≥1+2 =1+2 =1+2× = ，
∴ + + 有最小值 ．
故選：D．
8．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C： ? =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，其離心率為e，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），直線F1B與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸，直線F1B的交點(diǎn)分別為M，R，若△RMF1與△PQF2的面積之比為e，則雙曲線C的離心率為（ �。�
A． B． C．2 D．
【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．
【分析】分別求出P，Q，M的坐標(biāo)，利用△RMF1與△PQF2的面積之比為e，|MF2|=|F1F2|=2c，可得3c=xM= ，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意，|OB|=b，|O F1|=c．∴kPQ= ，kMR=? ．
直線PQ為：y= （x+c），與y= x．聯(lián)立得：Q（ ， ）；
與y=? x．聯(lián)立得：P（ ， ）．PQ的中點(diǎn)為（ ， ），
直線MR為：y? =? （x? ），
令y=0得：xM= ，
又△RMF1與△PQF2的面積之比為e，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∴3c=xM= ，
解之得：e2= ，
∴e=
故選：A．
二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．
9．已知loga2=m，loga3=n，則a2m+n= 12 ，用m，n表示log46為 �。�
【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．
【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則和換底公式求解．
【解答】解：∵loga2=m，loga3=n，∴am=2，an=3，
a2m+n=（am）2×an=22×3=12，
log46= = = ．
故答案為：12， ．
10．已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為�。�0，1） ，若M是拋物線上一點(diǎn)，|MF|=4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠MFO= 或 ．
【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．
【分析】利用拋物線的方程與定義，即可得出結(jié)論．
【解答】解：拋物線x2=4y的焦點(diǎn)在y軸上，且p=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；
∵M(jìn)是拋物線上一點(diǎn)，|MF|=4，
∴M（±2 ，3），
M（2 ，3），kMF= = ，∴∠MFO=
M（?2 ，3），kMF=? =? ，∴∠MFO=
故答案為：（0，1）， 或 ．
11．若函數(shù)f（x）= 為奇函數(shù)，則a= 0 ，f（g（?2））= ?25�。�
【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．
【分析】利用分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意，a=f（0）=0．
設(shè)x＜0，則?x＞0，f（?x）=x2?2x+1=?f（x），
∴g（2x）=?x2+2x?1，
∴g（?2）=?4，
∴f（g（?2））=f（?4）=?16?8?1=?25．
故答案為：0，?25．
12．對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在實(shí)數(shù)a，使得f（a+x）•f（a?x）=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立，則稱f（x）為關(guān)于a的“倒函數(shù)”．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是關(guān)于0和1的“倒函數(shù)”，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的取值范圍為[1，2]，則
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）的取值范圍為 [ ，1] ，當(dāng)x∈[?2019，2019]時(shí)，f（x）的取值范圍為 [ ，2] ．
【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．
【分析】根據(jù)“倒函數(shù)”的定義，建立兩個(gè)方程關(guān)系，根據(jù)方程關(guān)系判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性和函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．
【解答】解：若函數(shù)f（x）是關(guān)于0和1的“倒函數(shù)”，
則f（x）•f（?x）=1，則f（x）≠0，
且f（1+x）•f（1?x）=1，
即f（2+x）•f（?x）=1，
即f（2+x）•f（?x）=1=f（x）•f（?x），
則f（2+x）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
若x∈[0，1]，則?x∈[?1，0]，2?x∈[1，2]，此時(shí)1≤f（x）≤2
∵f（x）•f（?x）=1，
∴f（?x）= ∈[ ，1]，
∵f（?x）=f（2?x）∈[ ，1]，
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）∈[ ，1]．
即一個(gè)周期內(nèi)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）∈[ ，2]．
∴當(dāng)x∈[?2019，2019]時(shí)，f（x）∈[ ，2]．
故答案為：[ ，1]，[ ，2]．
13．已知關(guān)于x的方程x2+ax+2b?2=0（a，b∈R）有兩個(gè)相異實(shí)根，若其中一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則 的取值范圍是 ．
【考點(diǎn)】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．
【分析】由題意知 ，從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解即可．
【解答】解：令f（x）=x2+ax+2b?2，
由題意知，
，
作其表示的平面區(qū)域如下，
，
的幾何意義是點(diǎn)A（1，4）與陰影內(nèi)的點(diǎn)的連線的斜率，
直線m過(guò)點(diǎn)B（?3，2），故km= = ；
直線l過(guò)點(diǎn)C（?1，1），故kl= = ；
結(jié)合圖象可知，
的取值范圍是 ；
故答案為： ．
14．若正數(shù)x，y滿足x2+4y2+x+2y=1，則xy的最大值為 �。�
【考點(diǎn)】基本不等式．
【分析】由題意和基本不等式可得1=x2+（2y）2+x+2y≥2•x•2y+2 ，解關(guān)于 的一元二次不等式可得．
【解答】解：∵正數(shù)x，y滿足x2+4y2+x+2y=1，
∴1=x2+4y2+x+2y=x2+（2y）2+x+2y≥2•x•2y+2 ，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)．
變形可得2（ ）2+2 ?1≤0，
解得 ≤ ≤ ，
結(jié)合 ＞0可得0＜ ≤ ，
平方可得2xy≤（ ）2= ，
∴xy≤ ，即xy的最大值為 ，
故答案為：
15．在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，將直線BC繞AC旋轉(zhuǎn)得到B1C，直線AC繞AB旋轉(zhuǎn)得到AC1，則在所有旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線B1C與直線AC1所成角的取值范圍為 [10°，50°] ．
【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．
【分析】平移CB1到A處，由已知得∠B1CA=30°，∠B1AC=150°，0≤∠C1AC≤20°，由此能求出直線B1C與直線AC1所成角的取值范圍．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，
將直線BC繞AC旋轉(zhuǎn)得到B1C，直線AC繞AB旋轉(zhuǎn)得到AC1，
如圖，平移CB1到A處，B1C繞AC旋轉(zhuǎn)，
∴∠B1CA=30°，∠B1AC=150°，
AC1繞AB旋轉(zhuǎn)，∴0°≤∠C1AC≤2∠CAB，
∴0≤∠C1AC≤20°，
設(shè)直線B1C與直線AC1所成角為α，
則∠B1AC?∠C1AC≤α≤∠B1AC+∠C1AC，
∵130°≤∠B1AC?∠C1AC≤150°，
150°≤∠B1AC+∠C1AC≤170°，
∴10°≤α≤50°或130°≤α≤170°（舍）．
故答案為：[10°，50°]．
三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a=2，2cos2 +sinA= ．
（Ⅰ）若滿足條件的△ABC有且只有一個(gè)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)取最大值時(shí)，求b的值．
【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由條件利用三角恒等變換求得cosA 和sinA 的值，結(jié)合滿足條件的△ABC有且只有
一個(gè)可得a=bsinA 或 a＞b，由此求得b的范圍． R>【解答】解：（1）對(duì)于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x?1）|恒成立， n＜1+4n2⇔?4n＜0，顯然成立，
（Ⅱ）△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c，利用余弦定理、基本不等式求得周長(zhǎng)2+b+c最大值為2+2 ，此時(shí)，b= =c．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a=2，2cos2 +sinA= ，
∴2 +sinA= ，即 2 +sinA= ，∴cosA?sinA= ，
平方可得sin2A= ，∴cosA+sinA= = ，
求得cosA= ，sinA= ∈（ ， ），結(jié)合滿足條件的△ABC有且只有一個(gè)，∴A∈（ ， ）．
且a=bsinA，即2= b，即 b= ；或 a＞b，即0＜b＜2，綜上可得，b∈（0，2）∪．
（Ⅱ）由于△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c，
由余弦定理可得22=b2+c2?2bc• =（b+c）2? bc≥（b+c）2? • = •（b+c）2，
∴b+c≤ =2 ，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為 2+b+c最大為2+2 ，
故此時(shí)b= ．
17．如圖，在多面體EF?ABCD中，ABCD，ABEF均為直角梯形， ，DCEF為平行四邊形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：DF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若△ABD是等邊三角形，且BF與平面DCEF所成角的正切值為 ，求二面角A?BF?C的平面角的余弦值．
【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥平面BCE，AB∥CD∥EF，從而CD⊥平面BCE，進(jìn)而CD⊥CE，由CE∥DF，得CD⊥DF，由此能證明DF⊥平面ABCD．
（Ⅱ）法1：過(guò)C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，推導(dǎo)出∠HKC為C?BF?E的平面角，由此能求出二面角A?BF?C的平面角的余弦值．
（Ⅱ）法2：以C為原點(diǎn)，CD，CB，CE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)CD=1，利用向量法能求出二面角A?BF?C的平面角的余弦值．
【解答】證明：（Ⅰ）因?yàn)?，所以AB⊥平面BCE，
又EF∥CD，所以EF∥平面ABCD，從而有AB∥CD∥EF，…
所以CD⊥平面BCE，從而CD⊥CE，
又CE∥DF，所以CD⊥DF，
又平面DCEF⊥平面ABCD，所以DF⊥平面ABCD．…
解：（Ⅱ）解法1：過(guò)C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，
因?yàn)锳B⊥平面BCE，所以CH⊥AB，從而CH⊥平面ABEF，
所以CH⊥BF，從而BF⊥平面CHK，所以BF⊥KH
即∠HKC為C?BF?E的平面角，與 A?BF?C的平面角互補(bǔ)．…
因?yàn)锽C⊥DCEF，所以BF與平面DCEF所成角為∠BFC．
由 ，所以2CB2=CD2+CE2，…
由△ABD是等邊三角形，知∠CBD=30°，所以
令CD=a，所以 ， ．
所以 ， ．
所以二面角A?BF?C的平面角的余弦值為 ．…
（Ⅱ）解法2：因?yàn)镃B，CD，CE兩兩垂直，
以C為原點(diǎn)，CD，CB，CE所在直線為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)CD=1．
因?yàn)锽C⊥DCEF，所以BF與平面DCEF所成角為∠BFC．
由 ，所以2CB2=CD2+CE2，…
由△ABD是等邊三角形，知∠CBD=30°，
所以 ，
…
，
平面ABF的一個(gè)法向量 ，平面CBF的一個(gè)法向量
則 ，且
取 …
則 ．
二面角A?BF?C的平面角與 的夾角互補(bǔ)．
所以二面角A?BF?C的平面角的余弦值為 ．…
18．已知函數(shù)f（x）=x2?1．
（1）對(duì)于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x?1）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1∈[1，2]．存在實(shí)數(shù)x2∈[1，2]，使得f（x1）=|2f（x2）?ax2|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；二次函數(shù)的性質(zhì)．
【分析】（1）由題意可得4m2（|x2?1|+1|≤4+|x2?2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤ ，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，可得右邊函數(shù)的最小值，解不等式可得m的范圍；
（2）f（x）在[1，2]的值域?yàn)锳，h（x）=|2f（x）?ax|的值域?yàn)锽，由題意可得A⊆B．分別求得函數(shù)f（x）和h（x）的值域，注意討論對(duì)稱軸和零點(diǎn)，與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性即可得到值域B，解不等式可得a的范圍．
即為4m2（|x2?1|+1|≤4+|x2?2x|，
由1≤x≤2，可得4m2≤ ，
由g（x）= =4（ + ）2? ，
當(dāng)x=2，即 = 時(shí)，g（x）取得最小值，且為1，
即有4m2≤1，解得? ≤m≤ ；
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x1∈[1，2]．
存在實(shí)數(shù)x2∈[1，2]，使得f（x1）=|2f（x2）?ax2|成立，
可設(shè)f（x）在[1，2]的值域?yàn)锳，h（x）=|2f（x）?ax|的值域?yàn)锽，
可得A⊆B．
由f（x）在[1，2]遞增，可得A=[0，3]；
當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）=|2x2?ax?2|=2x2?ax?2，（1≤x≤2），
在[1，2]遞增，可得B=[?a，6?2a]，
可得?a≤0＜3≤6?2a，不成立；
當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=2x2?2，（1≤x≤2），
在[1，2]遞增，可得B=[0，6]，
可得0≤0＜3≤6，成立；
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由h（x）=0，解得x= ＞1（負(fù)的舍去），
h（x）在[1， ]遞減，[ ，2]遞增，
即有h（x）的值域?yàn)閇0，h（2）]，即為[0，6?2a]，
由0≤0＜3≤6?2a，解得0＜a≤ ；
當(dāng)2＜a≤3時(shí)，h（x）在[1， ]遞減，[ ，2]遞增，
即有h（x）的值域?yàn)閇0，h（2）]，即為[0，a]，
由0≤0＜3≤a，解得a=3；
當(dāng)3＜a≤4時(shí)，h（x）在[1，2]遞減，可得B=[2a?6，a]，
由2a?6≤0＜3≤a，無(wú)解，不成立；
當(dāng)4＜a≤6時(shí)，h（x）在[1， ]遞增，在[ ，2]遞減，可得B=[2a?6，2+ ]，
由2a?6≤0＜3≤2a，不成立；
當(dāng)6＜a≤8時(shí)，h（x）在[1， ]遞增，在[ ，2]遞減，可得B=[a，2+ ]，
由a≤0＜3≤2a，不成立；
當(dāng)a＞8時(shí)，h（x）在[1，2]遞增，可得B=[a，2a?6]，
A⊆B不成立．
綜上可得，a的范圍是0≤a≤ 或a=3．
19．已知F1，F(xiàn)2為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)2在以 為圓心，1為半徑的圓C2上，且|QF1|+|QF2|=2a．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線l1交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)，過(guò)P與l1垂直的直線l2交圓C2于C，D兩點(diǎn)，M為線段CD中點(diǎn)，求△MAB面積的取值范圍．
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．
【分析】（Ⅰ）圓C2的方程為 ，由此圓與x軸相切，求出a，b的值，由此能求出橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設(shè)l1：x=t（y?1），則l2：tx+y?1=0，與橢圓聯(lián)立，得（t2+2）y2?2t2y+t2?4=0，由此利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出△MAB面積的取值范圍．
【解答】（本題滿分15分）
解：（Ⅰ）圓C2的方程為 ，
此圓與x軸相切，切點(diǎn)為
∴ ，即a2?b2=2，且 ， …
又|QF1|+|QF2|=3+1=2a．…
∴a=2，b2=a2?c2=2
∴橢圓C1的方程為 ．…
（Ⅱ）當(dāng)l1平行x軸的時(shí)候，l2與圓C2無(wú)公共點(diǎn)，從而△MAB不存在；
設(shè)l1：x=t（y?1），則l2：tx+y?1=0．
由 ，消去x得（t2+2）y2?2t2y+t2?4=0，
則 ．…
又圓心 到l2的距離 ，得t2＜1．…
又MP⊥AB，QM⊥CD
∴M到AB的距離即Q到AB的距離，設(shè)為d2，
即 ．…
∴△MAB面積
令
則 ．
∴△MAB面積的取值范圍為 ．…
20．對(duì)任意正整數(shù)n，設(shè)an是方程x2+ =1的正根．求證：
（1）an+1＞an；
（2） + +…+ ＜1+ + +…+ ．
【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．
【分析】（1）解方程可得an= ，再由分子有理化，結(jié)合 ， 在n∈N*上遞減，即可得證；
（2）求出 = ，分析法可得 ＜ ，累加并運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證．
【解答】解：（1）an是方程x2+ =1的正根，
解得an= ，
由分子有理化，可得an=
= ，
由 ， 在n∈N*上遞減，
可得an為遞增數(shù)列，
即為an+1＞an；
（2）證明：由an= ，可得
= ，
由 ＜ ⇔2n?1＜
⇔1+4n2?4
即有 + +…+ ＜1+ + +…+
＜1+ + +…+ ．
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