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高三數(shù)學(xué)章末綜合測試題(13)立體幾何(1)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.圓臺的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(　　)

A.7 B.6 C.5 D.3

解析　A　依題意，設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為r、3r，則有π(r+3r)•3=84π，解得r=7.

2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且CFCB=CGCD=23，則(　　)

A.EF與GH平行

B.EF與GH異面

C.EF與 GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上

D.EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上

解析　D　依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面.因?yàn)镋H=12BD，F(xiàn)G=23BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上.同理，點(diǎn)M在平面ACD上，即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，而AC是這兩個(gè)平面的交線，所 以點(diǎn)M一定在AC上.

3.已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，且ka+b與2a-b互相垂直，則k=(　　)

A.1 B.15 C.35 D.75

解析　D　k a+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1，k,2)，2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=

(3,2，-2)，∵兩向量垂直，∴3(k-1)+2k-2×2=0，∴k=75.

4.已知直線m、n和平面α，在下列給定的四個(gè)結(jié)論中，m∥n的一個(gè)必要但不充分條件是(　　)

A.m∥α，n∥α B.m⊥α，n⊥α

C.m∥α，n⊂α D.m、n與 α所成的角相等

解析　D　對于選項(xiàng)A，當(dāng)m∥α，n∥α?xí)r，直線m、n可以是平行、相交或異面 ;而當(dāng)m∥n時(shí)，m、n與α的關(guān)系不確定，故選項(xiàng)A是m∥n的既不充分也不必要條件;選項(xiàng)B是m∥n的充分不必要條件;選項(xiàng)C是m∥n的既不充分也不必要條件;對于選項(xiàng)D，由m∥n可以得到m、n與α所成的角相等，但是m、n與α所成的角相等得不到m∥n.故選項(xiàng)D符合題意.

5.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖(主視圖的弧線是半圓)，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)，這個(gè)幾何體的體積是(　　)

A.288+36π

B.60π

C.288+72π

D.288+18π

解析　A　依題意得，該幾何體是由一個(gè)長方體與半個(gè)圓柱的組合體，其中長方體的長、寬、高分別為8、6、6，半個(gè)圓柱相應(yīng)的圓柱底面半徑為3、高為8，因此該幾何體的體積等于8×6×6+12×π×32×8=288+36π，故選A.

6.l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確 的是(　　)

A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D.l1，l2，l3共點(diǎn)⇒l1，l2，l3共面

解析　B　在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯(cuò);兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另 一條也垂直于第三條直線，B正確;相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò);共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯(cuò).

7.將一個(gè)邊長為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了(　　)

A.6a2　 　 　 B.12a2

C.18a2　　　 D.24a2

解析　B　依題意，小正方體的棱長為a3，所以27個(gè)小正方體的表面積總和為27×6×a32=18a2，故表面積增加量為18a2-6a2=12a2

2.

8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(　　)

A.63 B.265

C.155 D.105

解析　D　如圖，連接A1C1，B1D1，交于點(diǎn)O1，由長方體的性質(zhì)易知∠C1BO1為BC1與平面BB1D1D所成的角.

∵BC=2，CC1=1，∴BC1=22+1=5，

又C1O1=12A1C1=1222+22=2，

∴在Rt△BO1C1中，sin ∠C1BO1=O1C1BC1=25=105.

9.已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有命題中，真命題有(　　)

A.0個(gè) B.1個(gè)

C.2個(gè) D.3個(gè)

解析　C　若α，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命題為真命題;若α，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命題為假命題;若β，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命題為真命題.

10.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=10，AD=5，AA1=4.分別過BC、A1D1的兩個(gè)平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為V1=VAEA1-DFD1，V2=VEBE1A1-FCF1D1，V3=VB1E1B-C1F1C.若V1∶V2∶V3=1∶3∶1，則截面A1EFD1的面積為(　　)

A.410 B.83

C.202 D.162

解析　C　由V1=V3，可得AE=B1E1，設(shè)AE=x，則12x×4×5∶[(10-x)×4×5]=1∶3，得x=4，則A1E=42+42=42，所以截面A1EFD1的面積為202.

11.如圖是一個(gè)無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A，B，C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC的值為(　　)

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析　C　還原正方體，如下圖所示，連接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，則∠ABC=60°.故選C.

12.連接球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦.半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于27、43，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動，有下列四個(gè)命題：

①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M;

②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N;

③MN的最大值為5;

④MN的最小值為1.

其中真命題的個(gè)數(shù)是 (　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

解析　C　易求得M、N到球心O的距離分別為OM=3，ON=2，若兩弦交于M，則ON⊥MN，在Rt△ONM中，有ON

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫 線上)

13. 如圖，在正四棱柱A1C中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動，則M只需滿足條件________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)

解析　∵FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，則MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)

【答案】　M位于線段FH上

14.已知α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：①m∥n，②α∥β，③m⊥α，④n⊥β，以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________.

解析　同垂直于一個(gè)平面的兩條直線互相平行，同垂直于兩個(gè)平行平面的兩條直線也互相平行.

【答案】　②③④⇒①

15.已知命題：“若x⊥y，y∥z，則x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空間所表示的幾何圖形有可能是：①都是直線;②都是平面;③x，y是直線，z是平面;④x，z是平面，y是直線.上述判斷中，正確的有________(請將你認(rèn)為正確的序號都填上).

解析　當(dāng)字母x，y，z都表示直線時(shí)，命題成立;當(dāng)字母x，y，z都表示平面時(shí)，命題也成立;當(dāng)x，z表示平面，y表示直線時(shí)

，由相關(guān)的判定定理知命題也成立;

當(dāng)x，y表示直線，z表示平面時(shí)，x⊥z不一定成立，還有可能x∥z或x與z相交，故①②④正確，③不正確.

【答案】�、佗冖�

16.如圖，二面角α-l-β的大小是60°，線段AB⊂α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是________.

解析　如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB、OC，則OC⊥l.設(shè)AB與β所成角為θ，

則∠ABO=θ ，由圖得sin θ=AOAB=ACAB•AOAC=sin 30°•sin 60°=34.

【答案】　34

三、解答題(本大 題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)如圖所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影E落在BC上.

(1)求證：平面ACD⊥平面ABC;

(2)求三棱錐 A-BCD的體積.

解析　(1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.

又BC⊥CD， 且AE∩BC=E，

∴CD⊥平面ABC.

又CD⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABC.

(2)由(1)知，CD⊥平面ABC，

又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.

又∵AB⊥AD，CD∩AD=D，

∴AB⊥平面ACD.

∴VA-BCD=VB-ACD=13•S△ACD•AB.

又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD=BC=4，AB=CD=3，

∴AC=AD2-CD2=42-32=7.

∴VA-BCD=13×12×7×3×3=372.

18.(12分)如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF為矩形，AB=2BF，DE⊥平面ABCD，G為EF的中點(diǎn).

(1)求證：CF∥平面ADE;

(2)求證：平面ABG⊥平面CDG;

(3)求二面角C-FG-B的余弦值.

解析　(1)∵BF∥DE，BC∥AD，BF∩BC=B，DE∩AD=D，∴平面CBF∥平面ADE.

又CF⊂平面CBF，

∴CF∥平面ADE.

(2)如圖，取AB的中點(diǎn)M，CD的中點(diǎn)N，連接GM、GN、MN、AC、BD，設(shè)AC、MN、BD交于O，連接GO.

∵四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF為矩形，

AB=2BF，DE⊥平面ABCD，G為EF的中點(diǎn)，

則GO⊥平面ABCD，GO=12MN，

∴GN⊥MG.

又GN⊥ DC，AB∥DC，

∴GN⊥AB.

又AB∩MG=M，

∴GN⊥平面GAB.

又GN⊂平面CDG，

∴平面ABG⊥平面CDG.

(3)由已知易得CG⊥FG，由(2)知GO⊥EF，

∴∠CGO為二面角C-FG-B的平面角，

∴cos ∠CGO=GOGC=33.

19.(12分)(2011•南昌二模)如圖所示的多面體ABC-A1B1C1中，三角形ABC是邊長為4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1=BB1=2CC1=4.

(1)若O是AB的中點(diǎn)，求證：OC1⊥A1B1;

(2)求平面AB1C1與平面A1B1C1所成的角的余弦值.

解析　(1)設(shè)線段A1B1的中點(diǎn)為E，連接OE，C1E.

由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AB，

又BB1∥AA1且AA1=BB1，

所以AA1B1B是矩形.

又點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)E∥AA1，所以O(shè)E⊥A1B1.

由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AC，A1A⊥BC.

又BB1∥AA1∥CC1，

所以BB1⊥BC，CC1⊥AC，CC1⊥BC，

且AC=BC=4，AA1=BB1=4，CC1=2，

所以A1C1=B1C1，所以C1E⊥A1B1.

又C1E∩OE=E，

所以A1B1⊥平面OC1E，

因?yàn)镺C1⊂平面OC1E，所以O(shè)C1⊥A1B1.

(2)如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OE→，OA→，OC→所在方向分別

為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則A(0,2,0)，A1(4,2,0)，B1(4，-2,0)，C1(2,0,23)，

設(shè)平面AB1C1的法向量為n1=(x1，y1，z1)，則有

n1•AB1→=0，n1•AC1→=0⇒

x1，y1，z1•4，-4，0=0，x1，y1，z1•2，-2，23=0⇒x1=y1，z1=0，

令x1=1，則n1=(1,1,0).

設(shè)平面A1B1C1的法向量為n2=(x2，y2，z2)，則有

n2•A1B1→=0，n2•A1C1→=0⇒x2，y2，z2•0，-4，0=0，x2，y2，z2•-2，-2，23=0

⇒y2=0，x2=3z2，令z2=1，則n2=(3，0,1).

所以cos〈n1，n2〉=n1•n2|n1|•|n2|=32×2=64，

所以平面AB1C1與平面A1B1C1所成的角的余弦值是64.

20.(12分)如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).

(1)求證：B1D1∥平面A1BD;

(2)求證：MD⊥AC;

(3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

解析　(1)由直四棱柱概念，得BB1?DD1，

∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，

∴B1D1∥BD.

而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.

(2)∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴BB1⊥AC.

又∵BD⊥AC，且BD∩BB1=B，

∴AC⊥平面BB1D1D.

而MD⊂平面BB1D1D，

∴MD⊥AC.

(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，如圖所示.

∵N是DC的中點(diǎn)，BD=BC，∴BN⊥DC.

又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線，

而平面ABCD⊥平面DCC1D1，

∴BN⊥平面DCC1D1.

又可證得，O是NN1的中點(diǎn)，∴BM?ON，

即四邊形BMON是平行四邊形，

∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC1D1D，

∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.

21.(12分)如圖所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2.E，F(xiàn)，G分別為線段PC，PD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD.

(1)求證：PA∥平面EFG;

(2)求二面角G-EF-D的大小.

解析　(1)∵PE=EC，PF=FD，∴EF∥CD.

又CD∥AB，∴EF∥AB，∴EF∥平面PAB.

同理，EG∥平面PAB.

又∵EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG，

而PA在平面PAB內(nèi)，∴PA∥平面EFG.

(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DF所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，G(1,2,0)，

易知DA→=(2 ,0,0)為平面EFD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，

又EF→=(0，-1，0)，EG→=(1,1，-1)，

由n•EF→=0，n•EG→=0，得x，y，z•0，-1，0=0，x，y，z•1，1，-1=0，

即y=0，x+y-z=0，取x=

1，得n=(1,0,1).

設(shè)所求二面角為θ，cos θ=n•DA→|n||DA→|=222=22，

∴θ=45°，即二面角G-EF-D的平面角的大小為45°.

2 2.(12分)在側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E為BB1延長線上的一點(diǎn)，D1E⊥面D1AC.

(1)求二面角E-AC-D1的大小;

(2)在D1E上是否存在一點(diǎn)P，使A1P∥平面EAC?若存在，求D1P∶PE的值;若不存在，說明理由.

解析　設(shè)AC與BD交于O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)AB=2，則A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(-3，0,0)，D(0，-1,0)，D1(0，-1,2)，A1(3，0,2).

(1)設(shè)E(0,1,2+h)，則D1E→=(0,2，h)，AC→=(-23，0,0)，D1A→=(3，1，-2)，

∵D1E⊥平面D1AC，

∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A，

∴D1E→•AC→=0，D1E→•D1A→=0，

∴2-2h=0，∴h=1，即E(0,1,3)，

∴D1E→=(0,2,1)，AE→=(-3，1,3).

設(shè)平面EAC的法向量為m=(x，y，z)，

則m⊥AC→，m⊥AE→，

∴x=0，-3x+y+3z=0，

令z=-1，得m=(0,3，-1)，

∴cos〈m，D1E→〉=m•D1E→|m||D1E→|=22，

∴二面角E-AC-D1的大小為45°.

(2)設(shè)D1P→=λPE→=λ(D1E→-D1P→)，

則D1P→=λ1+λD1E→=0，2λ1+λ，λ1+λ，

∴A1P→=A1D1→+D1P→

=(-3，-1,0)+0，2λ1+λ，λ1+λ

=-3，λ-11+λ，λ1+λ.

∵A1P∥平面EAC，

∴A1P→⊥m，

∴A1P→•m=0，

∴-3×0+3×λ-11+λ+(-1)×λ1+λ=0，

∴λ=32.

∴存在點(diǎn)P使A1P∥平面EAC，

此時(shí)D1P∶PE=3∶2.