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四川省自貢市2013年中考數(shù)學(xué)試卷
一、（共10個小題，每小題4分，共40分）
1．（4分）（2013?自貢）與?3的差為0的數(shù)是（　　）
　A．3B．?3C． D．
考點(diǎn)：有理數(shù)的減法．
分析：與?3的差為0的數(shù)就是?3+0，據(jù)此即可求解．
解答：解：?3+0=?3．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，正確列出式子是關(guān)鍵．
　
2．（4分）（2013?自貢）在我國南海某海域探明可燃冰儲量約有194億立方米．194億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　�。�
　A．1.94×1010B．0.194×1010C．19.4×109D．1.94×109
考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
解答：解：194億=19400000000，用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.94×1010．
故選：A．
點(diǎn)評：此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
3．（4分）（2013?自貢）某班七個合作學(xué)習(xí)小組人數(shù)如下：4、5、5、x、6、7、8，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　�。�
　A．5B．5.5C．6D．7
考點(diǎn)：中位數(shù)；算術(shù)平均數(shù)．
分析：根據(jù)平均數(shù)的定義先求出這組數(shù)據(jù)x，再將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，然后找出最中間的數(shù)即可．
解答：解：∵4、5、5、x、6、7、8的平均數(shù)是6，
∴（4+5+5+x+6+7+8）÷7=6，
解得：x=7，
將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4、5、5、6、7、7、8，
最中間的數(shù)是6；
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6；
故選C．
點(diǎn)評：此題考查了中位數(shù)，掌握中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到�。┲匦屡帕泻�，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）．
　
4．（4分）（2013?自貢）在四張背面完全相同的卡片上分別印有等腰三角形、平行四邊形、菱形、圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的概率為（　�。�
　A． B． C． D．
考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法；軸對稱圖形．
分析：首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：分別用A、B、C、D表示等腰三角形、平行四邊形、菱形、圓，
畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的有6種情況，
∴抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的概率為： = ．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
5．（4分）（2013?自貢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O，并且分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，已知B（8，0），C（0，6），則⊙A的半徑為（　�。�
　A．3B．4C．5D．8
考點(diǎn)：圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．
專題：．
分析：連接BC，由90度的圓周角所對的弦為直徑，得到BC為圓A的直徑，在直角三角形BOC中，由OB與OC的長，利用勾股定理求出BC的長，即可確定出圓A的半徑．
解答：解：連接BC，
∵∠BOC=90°，
∴BC為圓A的直徑，即BC過圓心A，
在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，
根據(jù)勾股定理得：BC=10，
則圓A的半徑為5．
故選C
點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．
　
6．（4分）（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG= ，則△EFC的周長為（　�。�
　A．11B．10C．9D．8
考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．
分析：判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長度，繼而得到EC的長度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△EFC的周長．
解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，
∴EC=FC=9?6=3，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4 ，
∴AG= =2，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周長等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2，
∴△CEF的周長為8．
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比，此題難度較大．
　
7．（4分）（2013?自貢）某超市貨架上擺放著某品牌紅燒牛肉方便面，如圖是它們的三視圖，則貨架上的紅燒牛肉方便面至少有（　　）
　A．8B．9C．10D．11
考點(diǎn)：由三視圖判斷幾何體．
分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
解答：解：易得第一層有4碗，第二層最少有3碗，第三層最少有2碗，所以至少共有9個碗．
故選B．
點(diǎn)評：考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．
　
8．（4分）（2013?自貢）如圖，將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱，這個棱柱的側(cè)面積為（　�。�
　A． B．9C． D．
考點(diǎn)：剪紙問題；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質(zhì)．
專題：操作型．
分析：這個棱柱的側(cè)面展開正好是一個長方形，長為3，寬為3減去兩個三角形的高，再用長方形的面積公式計算即可解答．
解答：解：∵將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱，
∴這個正三角形的底面邊長為1，高為 = ，
∴側(cè)面積為長為3，寬為3? 的長方形，面積為9?3 ．
故選A．
點(diǎn)評：此題主要考查了剪紙問題的實(shí)際應(yīng)用，動手操作拼出圖形，并能正確進(jìn)行計算是解答本題的關(guān)鍵．
　
9．（4分）（2013?自貢）如圖，點(diǎn)O是正六邊形的對稱中心，如果用一副三角板的角，借助點(diǎn)O（使該角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)O處），把這個正六邊形的面積n等分，那么n的所有可能取值的個數(shù)是（　�。�
　A．4B．5C．6D．7
考點(diǎn)：正多邊形和圓．
分析：根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，即讓周角除以30的倍數(shù)就可以解決問題．
解答：解：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
因此n的所有可能的值共五種情況，
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了正多邊形和圓，只需讓周角除以30°的倍數(shù)即可．
　
10．（4分）（2013?自貢）如圖，已知A、B是反比例函數(shù) 上的兩點(diǎn)，BC∥x軸，交y軸于C，動點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿O→A→B→C勻速運(yùn)動，終點(diǎn)為C，過運(yùn)動路線上任意一點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，設(shè)四邊形OMPN的面積為S，P點(diǎn)運(yùn)動的時間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是（　　）
　A． B． C． D．
考點(diǎn)：動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．
分析：通過兩段的判斷即可得出答案，①點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，此時四邊形OMPN的面積不變，可以排除B、D；②點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，S減小，S與t的關(guān)系為一次函數(shù)，從而排除C．
解答：解：①點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，此時四邊形OMPN的面積S=K，保持不變，故排除B、D；
②點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，設(shè)路線O→A→B→C的總路程為l，點(diǎn)P的速度為a，則S=OC×CP=OC×（l?at），因?yàn)閘，OC，a均是常數(shù)，
所以S與t成一次函數(shù)關(guān)系．故排除C．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答此類題目并不需要要求出函數(shù)解析式，只要判斷出函數(shù)的增減性，或者函數(shù)的性質(zhì)即可，注意排除法的運(yùn)用．
　
二、題（共5個小題，每小題4分，共20分）
11．（4分）（2013?自貢）多項(xiàng)式ax2?a與多項(xiàng)式x2?2x+1的公因式是　x?1�。�
考點(diǎn)：公因式．
專題：．
分析：第一個多項(xiàng)式提取a后，利用平方差公式分解，第二個多項(xiàng)式利用完全平方公式分解，找出公因式即可．
解答：解：多項(xiàng)式ax2?a=a（x+1）（x?1），多項(xiàng)式x2?2x+1=（x?1）2，
則兩多項(xiàng)式的公因式為x?1．
故答案為：x?1．
點(diǎn)評：此題考查了公因式，將兩多項(xiàng)式分解因式是找公因式的關(guān)鍵．
　
12．（4分）（2013?自貢）計算： =　1�。�
考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
專題：計算題．
分析：本題涉及零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值等四個考點(diǎn)．針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果．
解答：解：原式=1+ ?2× ?（2? ）
=1+2? ?2+
=1，
故答案為1．
點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
　
13．（4分）（2013?自貢）如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，⊙O的圓心在格點(diǎn)上，則∠AED的余弦值是　 �。�
考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．
專題：網(wǎng)格型．
分析：根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠ABC的值，即為cos∠AED的值．
解答：解：∵∠AED與∠ABC都對 ，
∴∠AED=∠ABC，
在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，
根據(jù)勾股定理得：BC= ，
則cos∠AED=cos∠ABC= = ．
故答案為：
點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．
　
14．（4分）（2013?自貢）已知關(guān)于x的方程x2?（a+b）x+ab?1=0，x1、x2是此方程的兩個實(shí)數(shù)根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③ ．則正確結(jié)論的序號是�、佗凇。�（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號）
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．
分析：（1）可以利用方程的判別式就可以判定是否正確；
（2）根據(jù)兩根之積就可以判定是否正確；
（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正確．
解答：解：①∵方程x2?（a+b）x+ab?1=0中，
△=（a+b）2?4（ab?2）=（a?b）2+4＞0，
∴x1≠x2
故①正確；
②∵x1x2=ab?1＜ab，故②正確；
③∵x1+x2=a+b，
即（x1+x2）2=（a+b）2，
∴x12+x22=（x1+x2）2?2x1x2=（a+b）2?2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即x12+x22＞a2+b2．
故③錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論序號是：①②．
故答案是：①②．
點(diǎn)評：本題考查的是一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，需同學(xué)們熟練掌握．
　
15．（4分）（2013?自貢）如圖，在函數(shù) 的圖象上有點(diǎn)P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為2，且后面每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前面相鄰點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都是2，過點(diǎn)P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分別作x軸、y軸的垂線段，構(gòu)成若干個矩形，如圖所示，將圖中陰影部分的面積從左至右依次記為S1、S2、S3…、Sn，則S1=　4　，Sn=　 �。�（用含n的代數(shù)式表示）
考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
專題：規(guī)律型．
分析：求出P1、P2、P3、P4…的縱坐標(biāo)，從而可計算出S1、S2、S3、S4…的高，進(jìn)而求出S1、S2、S3、S4…，從而得出Sn的值．
解答：解：當(dāng)x=2時，P1的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)x=4時，P2的縱坐標(biāo)為2，
當(dāng)x=6時，P3的縱坐標(biāo)為 ，
當(dāng)x=8時，P4的縱坐標(biāo)為1，
當(dāng)x=10時，P5的縱坐標(biāo)為： ，
…
則S1=2×（4?2）=4=2[ ? ]；
S2=2×（2? ）=2× =2[ ? ]；
S3=2×（ ?1）=2× =2[ ? ]；
…
Sn=2[ ? ]= ；
故答案為：4， ．
點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)坐標(biāo)求出個陰影的面積表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
　
三、解答題（共2個題，每題8分，共16分）
16．（8分）（2013?自貢）解不等式組： 并寫出它的所有的整數(shù)解．
考點(diǎn)：解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解．
專題：計算題．
分析：先求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后寫出整數(shù)解即可．
解答：解： ，
解不等式①得，x≥1，
解不等式②得，x＜4，
所以，不等式組的解集是1≤x＜4，
所以，不等式組的所有整數(shù)解是1、2、3．
點(diǎn)評：本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．
　
17．（8分）（2013?自貢）先化簡 ，然后從1、 、?1中選取一個你認(rèn)為合適的數(shù)作為a的值代入求值．
考點(diǎn)：分式的化簡求值．
分析：先把除法轉(zhuǎn)化成，再根據(jù)的分配律分別進(jìn)行計算，然后把所得的結(jié)果化簡，最后選取一個合適的數(shù)代入即可．
解答：解：
= ×
= ?
=
= ，
由于a≠±1，所以當(dāng)a= 時，原式= = ．
點(diǎn)評：此題考查了分式的化簡求值，用到的知識點(diǎn)是乘法的分配律、約分，在計算時要注意把結(jié)果化到最簡．
　
四、解答題（共2個題，每小題8分，共16分）
18．（8分）（2013?自貢）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
考點(diǎn)：解一元二次方程-配方法．
分析：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．
解答：解：∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，
∴a≠0．
∴由原方程，得
x2+ x=? ，
等式的兩邊都加上 ，得
x2+ x+ =? + ，
配方，得
（x+ ）2=? ，
開方，得
x+ =± ，
解得x1= ，x2= ．
當(dāng)b2?4ac＜0時，原方程無實(shí)數(shù)根．
點(diǎn)評：本題考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步驟：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程兩邊同時除以二次項(xiàng)系數(shù)，即化成x2+px+q=0，然后配方．
　
19．（8分）（2013?自貢）某校住校生宿舍有大小兩種寢室若干間，據(jù)統(tǒng)計該校高一年級男生740人，使用了55間大寢室和50間小寢室，正好住滿；女生730人，使用了大寢室50間和小寢室55間，也正好住滿．
（1）求該校的大小寢室每間各住多少人？
（2）預(yù)測該校今年招收的高一新生中有不少于630名女生將入住寢室80間，問該校有多少種安排住宿的方案？
考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．
分析：（1）首先設(shè)該校的大寢室每間住x人，小寢室每間住y人，根據(jù)關(guān)鍵語句“高一年級男生740人，使用了55間大寢室和50間小寢室，正好住滿；女生730人，使用了大寢室50間和小寢室55間，也正好住滿”列出方程組即可；
（2）設(shè)大寢室a間，則小寢室（80?a）間，由題意可得a≤80，再根據(jù)關(guān)鍵語句“高一新生中有不少于630名女生將入住寢室80間”可得不等式8a+6（80?a）≥630，解不等式組即可．
解答：解：（1）設(shè)該校的大寢室每間住x人，小寢室每間住y人，由題意得：
，
解得： ，
答：該校的大寢室每間住8人，小寢室每間住6人；
（2）設(shè)大寢室a間，則小寢室（80?a）間，由題意得：
，
解得：80≥a≥75，
①a=75時，80?75=5，
②a=76時，80?a=4，
③a=77時，80?a=3，
④a=78時，80?a=2，
⑤a=79時，80?a=1，
⑥a=80時，80?a=0．
故共有6種安排住宿的方案．
點(diǎn)評：此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，以及一元一次不等式組的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，抓住題目中的關(guān)鍵語句，列出方程和不等式．
　
五、解答題（共2個題，每題10分，共20分）
20．（10分）（2013?自貢）為配合我市創(chuàng)建省級文明城市，某校對八年級各班文明行為勸導(dǎo)志愿者人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，各班統(tǒng)計人數(shù)有6名、5名、4名、3名、2名、1名共計六種情況，并制作如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
（1）求該年級平均每班有多少文明行為勸導(dǎo)志愿者？并將條形圖補(bǔ)充完整；
（2）該校決定本周開展主題實(shí)踐活動，從八年級只有2名文明行為勸導(dǎo)志愿者的班級中任選兩名，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出所選文明行為勸導(dǎo)志愿者有兩名來自同一班級的概率．
考點(diǎn)：條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖；列表法與樹狀圖法．
分析：（1）根據(jù)志愿者有6名的班級占20%，可求得班級總數(shù)，再求得志愿者是2名的班數(shù)，進(jìn)而可求出每個班級平均的志愿者人數(shù)；
（2）由（1）得只有2名志愿者的班級有2個，共4名學(xué)生．設(shè)A1，A2來自一個班，B1，B2來自一個班，列出樹狀圖可得出來自一個班的共有4種情況，則所選兩名志愿者來自同一個班級的概率．
解答：解：（1）∵有6名志愿者的班級有4個，
∴班級總數(shù)為：4÷20%=20（個），
有兩名志愿者的班級有：
20?4?5?4?3?2=2（個），如圖所示：
該年級平均每班有；
（4×6+5×5+×4+3×3+2×2+2×1）=4（名），
（2）由（1）得只有2名文明行為勸導(dǎo)志愿者的班級有2個，共4名學(xué)生．設(shè)A1，A2來自一個班，B1，B2來自一個班，
由樹狀圖可知，共有12種可能的情況，并且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中來自一個班的共有4種情況，
則所選兩名文明行為勸導(dǎo)志愿者來自同一個班級的概率為： = ．
點(diǎn)評：此題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的綜合應(yīng)用以及樹狀圖法求概率，根據(jù)圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵．
　
21．（10分）（2013?自貢）如圖，點(diǎn)B、C、D都在⊙O上，過點(diǎn)C作AC∥BD交OB延長線于點(diǎn)A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB= cm．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）
考點(diǎn)：切線的判定；扇形面積的計算．
分析：（1）求出∠COB的度數(shù)，求出∠A的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠OCA的度數(shù)，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）如解答圖所示，解題關(guān)鍵是證明△CDM≌△OBM，從而得到S陰影=S扇形BOC．
解答：如圖，連接BC，OD，OC，設(shè)OC與BD交于點(diǎn)M．
（1）證明：根據(jù)圓周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=180°?30°?60°=90°，
即OC⊥AC，
∵OC為半徑，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：由（1）知，AC為⊙O的切線，
∴OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD．
由垂徑定理可知，MD=MB= BD= ．
在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB= = =6．
在△CDM與△OBM中，
∴△CDM≌△OBM
∴S△CDM=S△OBM
∴陰影部分的面積S陰影=S扇形BOC= =6π（cm2）．
點(diǎn)評：本題考查了平行線性質(zhì)，切線的判定，扇形的面積，三角形的面積，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計算的能力．
　
六、解答題（本題滿分12分）
22．（12分）（2013?自貢）在東西方向的海岸線l上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°，且與A相距40km的B處；經(jīng)過1小時20分鐘，又測得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距 km的C處．
（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）；
（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由．
考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．
分析：（1）根據(jù)∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．
（2）延長BC交l于T，比較AT與AM、AN的大小即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，
∴△ABC為直角三角形．
∵AB=40km，AC= km，
∴BC= = =16 （km）．
∵1小時20分鐘=80分鐘，1小時=60分鐘，
∴ ×60=12 （千米/小時）．
（2）作線段BR⊥x軸于R，作線段CS⊥x軸于S，延長BC交l于T．
∵∠2=60°，
∴∠4=90°?60°=30°．
∵AC=8 （km），
∴CS=8 sin30°=4 （km）．
∴AS=8 cos30°=8 × =12（km）．
又∵∠1=30°，
∴∠3=90°?30°=60°．
∵AB=40km，
∴BR=40?sin60°=20 （km）．
∴AR=40×cos60°=40× =20（km）．
易得，△STC∽△RTB，
所以 = ，
，
解得：ST=8（km）．
所以AT=12+8=20（km）．
又因?yàn)锳M=19.5km，MN長為1km，∴AN=20.5km，
∵19.5＜AT＜20.5
故輪船能夠正好行至碼頭MN靠岸．
點(diǎn)評：此題結(jié)合方向角，考查了理解能力、解直角三角形的能力．計算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
　
七、解答題（本題滿分12分）
23．（12分）（2013?自貢）將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn)，求證：CP1=CQ；
（2）在圖②中，若AP1=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B1C上取一點(diǎn)E，連接BE、P1E，設(shè)BC=1，當(dāng)BE⊥P1B時，求△P1BE面積的最大值．
考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形．
分析：（1）先判斷∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可證明△B1CQ≌△BCP1，從而得出結(jié)論．
（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，繼而可得出CQ的長度．
（3）證明△AP1C∽△BEC，則有AP1：BE=AC：BC= ：1，設(shè)AP1=x，則BE= x，得出S△P1BE關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．
解答：（1）證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，
∵在△B1CQ和△BCP1中，
，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），
∴CQ=CP1；
（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，
∴P1D= AP1=1，
∵∠P1CD=45°，
∴ =sin45°= ，
∴CP1= P1D= ，
又∵CP1=CQ，
∴CQ= ；
（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC= BC，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ACP1=∠BCE，
∴△AP1C∽△BEC，
∴AP1：BE=AC：BC= ：1，
設(shè)AP1=x，則BE= x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S△P1BE= × x（2?x）=? x2+ x
=? （x?1）2+ ，
故當(dāng)x=1時，S△P1BE（max）= ．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題需要我們熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及配方法求二次函數(shù)的最值，有一定難度．
　
八、解答題（本題滿分14分）
24．（14分）（2013?自貢）如圖，已知拋物線y=ax2+bx?2（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且D（2，3），tan∠DBA= ．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值；
（3）在（2）中四邊形BMCA面積最大的條件下，過點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）如答圖1所示，利用已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）如答圖1所示，首先求出四邊形BMCA面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；
（3）本題利用切線的性質(zhì)、相似三角形與勾股定理求解．如答圖2所示，首先求出直線AC與直線x=2的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而確定了Rt△AGF的各個邊長；然后證明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似線段比例關(guān)系列出方程，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解答：解：（1）如答圖1所示，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則DE=3，OE=2．
∵tan∠DBA= = ，
∴BE=6，
∴OB=BE?OE=4，
∴B（?4，0）．
∵點(diǎn)B（?4，0）、D（2，3）在拋物線y=ax2+bx?2（a≠0）上，
∴ ，
解得 ，
∴拋物線的解析式為：y= x2+ x?2．
（2）拋物線的解析式為：y= x2+ x?2，
令x=0，得y=?2，∴C（0，?2），
令y=0，得x=?4或1，∴A（1，0）．
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n）（m＜0，n＜0），
如答圖1所示，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，則MF=?n，OF=?m，BF=4+m．
S四邊形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC
= BF?MF+ （MF+OC）?OF+ OA?OC
= （4+m）×（?n）+ （?n+2）×（?m）+ ×1×2
=?2n?m+1
∵點(diǎn)M（m，n）在拋物線y= x2+ x?2上，
∴n= m2+ m?2，代入上式得：
S四邊形BMCA=?m2?4m+5=?（m+2）2+9，
∴當(dāng)m=?2時，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9．
（3）假設(shè)存在這樣的⊙Q．
如答圖2所示，設(shè)直線x=?2與x軸交于點(diǎn)G，與直線AC交于點(diǎn)F．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（1，0）、C（0，?2）代入得：
，
解得：k=2，b=?2，
∴直線AC解析式為：y=2x?2，
令x=?2，得y=?6，∴F（?2，?6），GF=6．
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF= = =3 ．
設(shè)Q（?2，n），則在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ= = ．
設(shè)⊙Q與直線AC相切于點(diǎn)E，則QE=OQ= ．
在Rt△AGF與Rt△QEF中，
∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，
∴Rt△AGF∽Rt△QEF，
∴ ，即 ，
化簡得：n2?3n?4=0，解得n=4或n=?1．
∴存在一個以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（?2，4）或（?2，?1）．
點(diǎn)評：本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、勾股定理、圓的切線性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積計算等重要知識點(diǎn)，涉及考點(diǎn)眾多，有一定的難度．第（2）問面積最大值的問題，利用二次函數(shù)的最值解決；第（3）問為存在型問題，首先假設(shè)存在，然后利用已知條件，求出符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)．
　


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